8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2023 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2023
Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2023
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2023 год


19.04.2023



  1. Сократите дробь: \[ \frac{(100x^2)^5 (25x^2)^8}{(250x^3)^8 (2x)^2} \]

  2. Разложите на два множителя: \[ a^2 + 4a - 12b - 9b^2 \]

  3. Решите уравнение: \[ 5x^2 + y^2 + 4xy - 2x + 1 = 0 \]

  4. Решите уравнение: \[ \frac{3(1.2 - x)}{10} - \frac{5 + 7x}{4} = x + \frac{9x + 0.2}{20} - \frac{4(13x - 0.6)}{5} \]

  5. После того, как одно основание трапеции увеличили на 60\%, а другое уменьшили на 20\%, средняя линия трапеции уменьшилась на 15\%. Во сколько раз одно основание больше другого?

  6. Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин. Поэтому они увеличили скорость в \( \frac{4}{3} \) раза и пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы?

  7. На плоскости даны точки \( A(-2; 3), B(4; 1), C(-4; -3) \). Напишите уравнение прямой, содержащей высоту треугольника \( ABC \), проведённую к стороне \( BC \).

  8. Острый угол прямоугольного треугольника равен \( 60^\circ \). Высота к гипотенузе делит её на два отрезка, длина большего из которых равна 12. Найдите длину гипотенузы.

  9. Биссектрисы углов \( A \) и \( C \) треугольника \( ABC \) пересекаются в точке \( O \). Угол \( ABC \) равен \( 40^\circ \). Найдите угол \( AOC \).

  10. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 7, проведена касательная, пересекающая две стороны треугольника. Найдите периметр отсеченного треугольника.

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Сократите дробь: \[ \frac{(100x^2)^5 (25x^2)^8}{(250x^3)^8 (2x)^2} \] Решение: Разложим числа на простые множители: \[ 100 = 2^2 \cdot 5^2, \quad 25 = 5^2, \quad 250 = 2 \cdot 5^3 \] Упростим степенные выражения: \[ \frac{(2^{10} \cdot 5^{10} x^{10}) \cdot (5^{16} x^{16})}{(2^8 \cdot 5^{24} x^{24}) \cdot (2^2 x^2)} = \frac{2^{10} \cdot 5^{26} x^{26}}{2^{10} \cdot 5^{24} x^{26}} = 5^2 = 25 \] Ответ: 25.

  2. Разложите на два множителя: \[ a^2 + 4a - 12b - 9b^2 \] Решение: Сгруппируем слагаемые: \[ (a^2 + 4a) - (9b^2 + 12b) = (a + 2)^2 - 4 - (3b + 2)^2 + 4 = (a + 2)^2 - (3b + 2)^2 \] Применим разность квадратов: \[ (a + 2 - 3b - 2)(a + 2 + 3b + 2) = (a - 3b)(a + 3b + 4) \] Ответ: $(a - 3b)(a + 3b + 4)$.

  3. Решите уравнение: \[ 5x^2 + y^2 + 4xy - 2x + 1 = 0 \] Решение: Представим уравнение как сумму квадратов: \[ (2x + y)^2 + (x - 1)^2 = 0 \] Отсюда: \[ \begin{cases} 2x + y = 0 \\ x - 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases} \] Ответ: $(1; -2)$.

  4. Решите уравнение: \[ \frac{3(1.2 - x)}{10} - \frac{5 + 7x}{4} = x + \frac{9x + 0.2}{20} - \frac{4(13x - 0.6)}{5} \] Решение: Умножим все члены на 20: \[ 6(1.2 - x) - 5(5 + 7x) = 20x + (9x + 0.2) - 16(13x - 0.6) \] Раскроем скобки и упростим: \[ 7.2 - 6x - 25 - 35x = 20x + 9x + 0.2 - 208x + 9.6 \] Приведем подобные: \[ -41x - 17.8 = -179x + 9.8 \Rightarrow 138x = 27.6 \Rightarrow x = 0.2 \] Ответ: 0.2.

  5. После того, как одно основание трапеции увеличили на 60\%, а другое уменьшили на 20\%, средняя линия трапеции уменьшилась на 15\%. Во сколько раз одно основание больше другого? Решение: Пусть исходные основания $a$ и $b$. Новая средняя линия: \[ \frac{1.6a + 0.8b}{2} = 0.85 \cdot \frac{a + b}{2} \] Упростим: \[ 1.6a + 0.8b = 0.85(a + b) \Rightarrow 0.75a = 0.05b \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{15} \] Ответ: В 15 раз.

  6. Туристы за первый час прошли 3 км. Если бы они продолжали двигаться с той же скоростью, то опоздали бы к месту сбора на 40 мин. Поэтому они увеличили скорость в $ \frac{4}{3} $ раза и пришли к месту сбора за 45 мин до назначенного срока. Какое расстояние прошли туристы? Решение: Пусть расстояние $S$, плановое время $t$ часов. Составим уравнения: \[ \frac{S}{3} = t + \frac{2}{3}, \quad \frac{S - 3}{4} + 1 = t - \frac{3}{4} \] Решив систему, получим $S = 21$ км. Ответ: 21 км.

  7. Напишите уравнение прямой, содержащей высоту треугольника $ABC$, проведённую к стороне $BC$. Решение: Координаты точек $B(4;1)$, $C(-4;-3)$. Угловой коэффициент $BC$: \[ k_{BC} = \frac{-3 - 1}{-4 - 4} = \frac{1}{2} \] Угловой коэффициент высоты: $k = -2$. Уравнение через точку $A(-2;3)$: \[ y - 3 = -2(x + 2) \Rightarrow 2x + y + 1 = 0 \] Ответ: $2x + y + 1 = 0$.

  8. Острый угол прямоугольного треугольника равен $60^\circ$. Высота к гипотенузе делит её на два отрезка, длина большего из которых равна 12. Найдите длину гипотенузы. Решение: Гипотенуза $c$, меньший катет $c \cdot \sin 60^\circ = \frac{c\sqrt{3}}{2}$. По свойству высоты: \[ \left(\frac{c\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 12(c - 12) \Rightarrow c = 16 \] Ответ: 16.

  9. Биссектрисы углов $A$ и $C$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Угол $ABC$ равен $40^\circ$. Найдите угол $AOC$. Решение: Сумма углов треугольника $180^\circ$: \[ \angle A + \angle C = 140^\circ \Rightarrow \frac{\angle A}{2} + \frac{\angle C}{2} = 70^\circ \] Угол $AOC$: \[ 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \] Ответ: $110^\circ$.

  10. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной 7, проведена касательная, пересекающая две стороны треугольника. Найдите периметр отсеченного треугольника. Решение: Отсеченный треугольник подобен исходному с коэффициентом $\frac{1}{3}$. Периметр: \[ 7 \cdot 3 \cdot \frac{1}{3} = 7 \] Ответ: 7.
Материалы школы Юайти