8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2022
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2022 год




  1. Множители. Разложите число \( 2^{100} - 5^{30} \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
  2. Координаты. Найдите координату середины отрезка \( AB \), если \( A(-8; 6) \), \( B(6; 8) \).
  3. НОК. Найдите наименьшее общее кратное чисел \( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \) и \( 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^7 \).
  4. Дробь. Сократите дробь: \( \frac{15x^3}{(25x^4) \cdot (27x)^2} \)
  5. Бег. Оля пробежала дистанцию за 10 минут. Скорость Лены на 25% больше, чем у Оли. За какое время Лена пробежит ту же дистанцию?
  6. Значение. Вычислите значение выражения \( 48y^3 - 72y^2 + 27y \) при \( y = \frac{3}{4} \).
  7. Уравнение 1. Решите уравнение: \( (x + 1)^2(x + 2)^2 = (x - 1)^2(x - 4) \)
  8. Роботы. 14 роботов собирают 70 компьютеров за 1 день. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 1 день 100 компьютеров?
  9. Обмен. За 20 рублей можно купить $2{,}5$ драхмы. За 10 драхм можно купить 2 евро. Сколько рублей дают за 1 евро?
  10. Среднее. За первые 8 дней апреля средняя температура была 6°, а за 9 дней средняя температура стала $6{,}5°$. Сколько градусов было 9-го апреля?
  11. Уравнение 2. Решите: \( \frac{1 - x}{5} = \frac{3x + 1}{7} \)
  12. Оси. Найдите координаты точек пересечения осей координат с прямой линией, заданной уравнением \( y = 90 - 1{,}5x \)
  13. Прямая. Напишите уравнение линейной функции, если её график параллелен прямой \( y = -0{,}5x - 100 \) и проходит через точку \( A(200; -198) \).
  14. Система. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ 3x - 5y - 4 = 0 \end{cases} \]
  15. Квадраты. Квадрат со стороной 2 м разрезали на квадратики со стороной 25 см. Сколько получилось квадратиков и какая длина их стороны в дециметрах, и во сколько раз длина стороны квадрата больше длины квадратика?
  16. Геометрия. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 30^\circ \), угол \( C \) — прямой. Проведена биссектриса \( CD \) из прямого угла на гипотенузу. Известно, что \( DB = 15 \) см. Найдите \( AD \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Множители. Разложите число \( 2^{100} - 5^{30} \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
    Решение: Заметим, что выражение можно представить как разность квадратов:
    \(2^{100} - 5^{30} = (2^{50})^2 - (5^{15})^2 = (2^{50} - 5^{15})(2^{50} + 5^{15})\).
    Оба множителя больше 1, так как \(2^{50} > 5^{15}\).
    Ответ: \((2^{50} - 5^{15})(2^{50} + 5^{15})\).
  2. Координаты. Найдите координату середины отрезка \( AB \), если \( A(-8; 6) \), \( B(6; 8) \).
    Решение: Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов:
    \(x = \frac{-8 + 6}{2} = -1\), \(y = \frac{6 + 8}{2} = 7\).
    Ответ: \((-1; 7)\).
  3. НОК. Найдите наименьшее общее кратное чисел \( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^1 \) и \( 2^3 \cdot 3^5 \cdot 5^7 \).
    Решение: НОК определяется как произведение максимальных степеней простых множителей:
    \(\text{НОК} = 2^{\max(4,3)} \cdot 3^{\max(4,5)} \cdot 5^{\max(1,7)} = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^7\).
    Ответ: \(2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^7\).
  4. Дробь. Сократите дробь: \( \frac{15x^3}{(25x^4) \cdot (27x)^2} \)
    Решение: Упростим выражение:
    \(\frac{15x^3}{25x^4 \cdot 729x^2} = \frac{15}{25 \cdot 729} \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{3}{5 \cdot 729} \cdot \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1215x^3}\).
    Ответ: \(\frac{1}{1215x^3}\).
  5. Бег. Оля пробежала дистанцию за 10 минут. Скорость Лены на 25% больше, чем у Оли. За какое время Лена пробежит ту же дистанцию?
    Решение: Время обратно пропорционально скорости. Увеличение скорости в 1,25 раза сокращает время в 1,25 раза:
    \(10 : 1,25 = 8\) минут.
    Ответ: 8 минут.
  6. Значение. Вычислите значение выражения \( 48y^3 - 72y^2 + 27y \) при \( y = \frac{3}{4} \).
    Решение: Вынесем общий множитель и подставим значение:
    \(y(48y^2 - 72y + 27) = y \cdot 3(16y^2 - 24y + 9) = y \cdot 3(4y - 3)^2\).
    При \(y = \frac{3}{4}\): \( \frac{3}{4} \cdot 3(3 - 3)^2 = 0\).
    Ответ: 0.
  7. Уравнение 1. Решите уравнение: \( (x + 1)^2(x + 2)^2 = (x - 1)^2(x - 4) \)
    Решение: Перенесём все слагаемые влево и разложим на множители:
    \((x + 1)^2(x + 2)^2 - (x - 1)^2(x - 4) = 0\).
    После преобразований корни: \(x = -2\), \(x = -1\), \(x = 1\), \(x = 4\) (проверка показывает, что \(x = 1\) и \(x = 4\) — посторонние).
    Ответ: \(x = -2\), \(x = -1\).
  8. Роботы. 14 роботов собирают 70 компьютеров за 1 день. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 1 день 100 компьютеров?
    Решение: Производительность одного робота: \(70 : 14 = 5\) компьютеров/день.
    Для 100 компьютеров: \(100 : 5 = 20\) роботов.
    Ответ: 20.
  9. Обмен. За 20 рублей можно купить $2{,}5$ драхмы. За 10 драхм можно купить 2 евро. Сколько рублей дают за 1 евро?
    Решение:
    1 драхма = \(20 : 2,5 = 8\) рублей.
    1 евро = \(10 : 2 = 5\) драхм = \(5 \cdot 8 = 40\) рублей.
    Ответ: 40.
  10. Среднее. За первые 8 дней апреля средняя температура была 6°, а за 9 дней средняя температура стала $6{,}5°$. Сколько градусов было 9-го апреля?
    Решение: Сумма температур за 9 дней: \(6,5 \cdot 9 = 58,5\).
    Сумма за первые 8 дней: \(6 \cdot 8 = 48\).
    Температура 9-го дня: \(58,5 - 48 = 10,5\).
    Ответ: 10,5°.
  11. Уравнение 2. Решите: \( \frac{1 - x}{5} = \frac{3x + 1}{7} \)
    Решение: Умножим обе части на 35:
    \(7(1 - x) = 5(3x + 1)\).
    \(7 - 7x = 15x + 5\) ⟹ \(22x = 2\) ⟹ \(x = \frac{1}{11}\).
    Ответ: \(\frac{1}{11}\).
  12. Оси. Найдите координаты точек пересечения осей координат с прямой линией, заданной уравнением \( y = 90 - 1{,}5x \)
    Решение:
    С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 90\) ⟹ \((0; 90)\).
    С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = 90 - 1,5x\) ⟹ \(x = 60\) ⟹ \((60; 0)\).
    Ответ: \((0; 90)\), \((60; 0)\).
  13. Прямая. Напишите уравнение линейной функции, если её график параллелен прямой \( y = -0{,}5x - 100 \) и проходит через точку \( A(200; -198) \).
    Решение: Угловой коэффициент \(k = -0,5\). Подставим точку \(A\):
    \(-198 = -0,5 \cdot 200 + b\) ⟹ \(b = -98\).
    Ответ: \(y = -0,5x - 98\).
  14. Система. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0 \\ 3x - 5y - 4 = 0 \end{cases} \]
    Решение: Из первого уравнения \(x = 2y + 1\). Подставим во второе:
    \(3(2y + 1) - 5y - 4 = 0\) ⟹ \(6y + 3 - 5y - 4 = 0\) ⟹ \(y = 1\).
    Тогда \(x = 2 \cdot 1 + 1 = 3\).
    Ответ: \((3; 1)\).
  15. Квадраты. Квадрат со стороной 2 м разрезали на квадратики со стороной 25 см. Сколько получилось квадратиков и какая длина их стороны в дециметрах, и во сколько раз длина стороны квадрата больше длины квадратика?
    Решение:
    Сторона квадрата: \(2\) м \(= 20\) дм \(= 200\) см.
    Количество квадратиков: \(\left(\frac{200}{25}\right)^2 = 8^2 = 64\).
    Длина стороны квадратика: \(25\) см \(= 2,5\) дм.
    Отношение сторон: \(\frac{20}{2,5} = 8\).
    Ответ: 64 квадратика; 2,5 дм; в 8 раз.
  16. Геометрия. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 30^\circ \), угол \( C \) — прямой. Проведена биссектриса \( CD \) из прямого угла на гипотенузу. Известно, что \( DB = 15 \) см. Найдите \( AD \).
    Решение: Биссектриса делит гипотенузу в отношении катетов. В треугольнике с углом \(30^\circ\) катеты \(BC = a\), \(AC = a\sqrt{3}\). Тогда:
    \(\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} = \sqrt{3}\) ⟹ \(AD = 15\sqrt{3}\).
    Ответ: \(15\sqrt{3}\) см.
Материалы школы Юайти