Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

23.03.2022

1. Скорость. Из начальной точки круговой трассы длиной 50 км выехал велосипедист. Через 50 минут он еще не вернулся на старт, и следом за ним отправился мотоциклист. Через 3 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 36; 42; 54.
3. Роботы. 18 роботов собирают 90 компьютеров за 3 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 2 дня 50 компьютеров?
4. Действия. Дано: $ab^2 = c - 3a$. Выразите $a$ через $b$ и $c$.
5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 60% своей массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы после сушки получилось 12 кг сушеных яблок?
6. Множители. Разложите на два множителя: $a^4 - 14a^2 + 1$.
7. Делитель. На какое число поделили 700, если в частном получилось 19, а в остатке 16?
8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: $-x^2 - 8x + 11$.
9. Орехи. Три белки делили орехи. Сначала первая раздала половину своих орехов двум другим поровну. Потом вторая, а затем и третья белка поступили так же. В итоге у них стало 26, 25 и 10 орехов соответственно. А сколько было изначально?
10. Уголком. Число 11...1 (двести единиц) поделили на число 11...1 (десять единиц). Сколько цифр получилось в частном?
11. Квадраты. Прямоугольник размерами $80 \times 56$ разрезали на одинаковые квадраты без остатка. Квадраты получились самого большого возможного размера. Сколько получилось квадратов?
12. Уравнение 1. Решите уравнение: $\frac{5 - 2(2 - x)}{6} = x - 2$.
13. Уравнение 2. Решите уравнение: $(x-5)(x^2-4) = (5-x)(x-2)^2$.
14. Сокращение. Сократите дробь: $\frac{(42x^2)^{13}}{(18x^3)^6(98x)^7}$.
15. Прямая. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (2; 1) и параллельной прямой $y = 2x + 3$.
16. Угол. В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\circ$, угол $B = 86^\circ$, $CD$ — биссектриса внешнего угла при вершине $C$, причем точка $D$ лежит на прямой $AB$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ выбрана такая точка $E$, что $CE = CB$. Найдите угол $BDE$. Ответ дайте в градусах.

Решения задач

1. Скорость. Из начальной точки круговой трассы длиной 50 км выехал велосипедист. Через 50 минут он еще не вернулся на старт, и следом за ним отправился мотоциклист. Через 3 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
   Решение: Пусть $v$ — скорость велосипедиста (км/ч), $u$ — мотоциклиста. За 53 минуты ($\frac{53}{60}$ ч) велосипедист проехал $v \cdot \frac{53}{60}$ км. Мотоциклист за 3 минуты ($\frac{1}{20}$ ч) проехал $u \cdot \frac{1}{20}$ км. При первой встрече:
   $u \cdot \frac{1}{20} = v \cdot \frac{53}{60}$
   Между встречами мотоциклист обогнал велосипедиста на круг:
   $(u - v) \cdot \frac{1}{2} = 50$
   Решаем систему:
   $\begin{cases} u = \frac{53}{3}v \\ u - v = 100 \end{cases} \Rightarrow \frac{53}{3}v - v = 100 \Rightarrow \frac{50}{3}v = 100 \Rightarrow v = 6$
   Тогда $u = 6 + 100 = 106$ км/ч.
   Ответ: 106.
   
   
2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 36; 42; 54.
   Решение: Разложим числа на простые множители:
   $36 = 2^2 \cdot 3^2$, $42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$, $54 = 2 \cdot 3^3$.
   НОК = $2^2 \cdot 3^3 \cdot 7 = 4 \cdot 27 \cdot 7 = 756$.
   Ответ: 756.
   
   
3. Роботы. 18 роботов собирают 90 компьютеров за 3 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 2 дня 50 компьютеров?
   Решение: Производительность одного робота: $\frac{90}{18 \cdot 3} = \frac{5}{3}$ комп./день.
   Для 50 комп. за 2 дня: $\frac{50}{2 \cdot \frac{5}{3}} = 15$ роботов.
   Ответ: 15.
   
   
4. Действия. Дано: $ab^2 = c - 3a$. Выразите $a$ через $b$ и $c$.
   Решение:
   $a(b^2 + 3) = c \Rightarrow a = \frac{c}{b^2 + 3}$.
   Ответ: $a = \frac{c}{b^2 + 3}$.
   
   
5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 60% своей массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы после сушки получилось 12 кг сушеных яблок?
   Решение: После сушки остаётся 40% массы:
   $0,4x = 12 \Rightarrow x = \frac{12}{0,4} = 30$ кг.
   Ответ: 30.
   
   
6. Множители. Разложите на два множителя: $a^4 - 14a^2 + 1$.
   Решение:
   $(a^2 + 4a + 1)(a^2 - 4a + 1)$.
   Проверка: $(a^2 + 4a + 1)(a^2 - 4a + 1) = a^4 - 14a^2 + 1$.
   Ответ: $(a^2 + 4a + 1)(a^2 - 4a + 1)$.
   
   
7. Делитель. На какое число поделили 700, если в частном получилось 19, а в остатке 16?
   Решение:
   $700 = 19d + 16 \Rightarrow 19d = 684 \Rightarrow d = 36$.
   Ответ: 36.
   
   
8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: $-x^2 - 8x + 11$.
   Решение: Вершина параболы при $x = -\frac{b}{2a} = -4$:
   $-(-4)^2 - 8(-4) + 11 = -16 + 32 + 11 = 27$.
   Ответ: 27.
   
   
9. Орехи. Три белки делили орехи. В итоге стало 26, 25 и 10. Найдите исходные количества.
   Решение: Обратный ход:
   После третьей раздачи: (21, 20, 20) $\rightarrow$ (26, 25, 10).
   После второй раздачи: (11, 40, 10) $\rightarrow$ (21, 20, 20).
   После первой раздачи: (22, 35, 15) $\rightarrow$ (11, 40, 10).
   Ответ: 22, 40, 20.
   
   
10. Уголком. Число 11...1 (200 единиц) поделили на число 11...1 (10 единиц). Сколько цифр получилось в частном?
    Решение: Частное имеет вид $10^{190} + 10^{180} + ... + 10^{10} + 1$, что даёт 20 единиц и 171 ноль. Всего 191 цифра.
    Ответ: 191.
    
    
11. Квадраты. Прямоугольник $80 \times 56$ разрезали на одинаковые квадраты. Сколько квадратов?
    Решение: НОД(80, 56) = 8. Количество: $\frac{80}{8} \cdot \frac{56}{8} = 10 \cdot 7 = 70$.
    Ответ: 70.
    
    
12. Уравнение 1. Решите уравнение: $\frac{5 - 2(2 - x)}{6} = x - 2$.
    Решение:
    $5 - 4 + 2x = 6x - 12 \Rightarrow 1 + 2x = 6x - 12 \Rightarrow 4x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{4}$.
    Ответ: 3,25.
    
    
13. Уравнение 2. Решите уравнение: $(x-5)(x^2-4) = (5-x)(x-2)^2$.
    Решение:
    $(x-5)(x^2-4 + (x-2)^2) = 0 \Rightarrow x = 5, 0, 2$.
    Ответ: 0; 2; 5.
    
    
14. Сокращение. Сократите дробь: $\frac{(42x^2)^{13}}{(18x^3)^6(98x)^7}$.
    Решение:
    $\frac{2^{13} \cdot 3^{13} \cdot 7^{13} \cdot x^{26}}{2^{13} \cdot 3^{12} \cdot 7^{14} \cdot x^{25}} = \frac{3x}{7}$.
    Ответ: $\frac{3x}{7}$.
    
    
15. Прямая. Напишите уравнение прямой, проходящей через (2; 1) и параллельной $y = 2x + 3$.
    Решение: Угловой коэффициент 2:
    $y - 1 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 3$.
    Ответ: $y = 2x - 3$.
    
    
16. Угол. В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\circ$, $B = 86^\circ$, $CD$ — биссектриса внешнего угла при $C$, $CE = CB$. Найдите угол $BDE$.
    Решение: Внешний угол при $C$ равен $116^\circ$, биссектриса делит его на $58^\circ$. Треугольник $BCE$ равнобедренный. Угол $BDE = 58^\circ$.
    Ответ: 58.