Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

26.05.2021

1. Скорость. Со старта круглой трассы длиной 30 км выехал велосипедист. Через 30 минут он ещё не вернулся на старт, и следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а ещё через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
   
   
2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится нацело на любое (каждое) из чисел: 36; 42; 48.
   
   
3. Роботы. 18 роботов собирают 96 компьютеров за 2 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 3 дня 120 компьютеров?
   
   
4. Действия. Дано: $2ac = h - a$. Выразите $a$ через $b$ и $c$.
   
   
5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 70% своей массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы после сушки получилось 6 кг сушеных яблок?
   
   
6. Множители. Разложите на два множителя: $a^4 - 23a^2 + 1$.
   
   
7. Логика. Контрольную работу назовем несложной, если каждую задачу решили не менее половины класса. Допишите определение (в общем виде): «Контрольную работу назовем сложной, если: $\underline{\hspace{3cm}}»$.
   
   
8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: $13 - x^2 - 6x$.
   
   
9. Орехи. Три белки делили орехи. Сначала первая раздала половину своих орехов двум другим поровну. Потом вторая, а затем и третья белка поступили так же. В итоге у них стало 19, 14 и 8 орехов соответственно. Сколько было у каждой белки изначально?
   
   
10. Орешник. Белка за 6 минут приносит орех в гнездо (туда и обратно). Далеко ли орешник от гнезда, если известно, что налегке белка бежит со скоростью 5 м/с, а с орехом \textendash{} 4 м/с?
    
    
11. Квадраты. Прямоугольник размерами 60 на 36 разрезали на одинаковые квадраты без остатка. Квадраты получились самого большого возможного размера. Сколько получилось квадратов?
    
    
12. Уравнение 1. Решите уравнение: $5 - \dfrac{2(3-x)}{6} = x-3$.
    
    
13. Уравнение 2. Решите уравнение: $(x-2)(x^2-1) = (2-x)(x-1)^2$.
    
    
14. Сокращение. Сократите дробь: $\dfrac{(70x^2)^ {13}}{(50x^3)^6(98x)^7}$.
    
    
15. Прямая. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку (1; 2) и параллельной прямой $y = 3x+1$.
    
    
16. Треугольник. В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $20^\circ$, угол $B$ равен $88^\circ$, $CD$ \textendash{} биссектриса внешнего угла при вершине $C$, причём точка $D$ лежит на прямой $AB$. На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ выбрана точка $E$, что $CE = CB$. Найдите угол $BDE$. Ответ дайте в градусах.
    
    

Решения задач

1. Скорость. Со старта круглой трассы длиной 30 км выехал велосипедист. Через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 5 минут после старта мотоциклист догнал велосипедиста в первый раз, а через 30 минут после этого — во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста.
   Решение: Пусть скорость велосипедиста — \( v \) км/ч, мотоциклиста — \( u \) км/ч. Первая встреча произошла через \( \frac{5}{60} = \frac{1}{12} \) часа после старта мотоциклиста. За это время велосипедист ехал \( \frac{35}{60} = \frac{7}{12} \) часа. Разница расстояний равна длине трассы: \[ u \cdot \frac{1}{12} - v \cdot \frac{7}{12} = 30 \quad \Rightarrow \quad u - 7v = 360. \] Вторая встреча произошла через \( \frac{30}{60} = 0{,}5 \) часа после первой. За это время разница расстояний снова составила 30 км: \[ (u - v) \cdot 0{,}5 = 30 \quad \Rightarrow \quad u - v = 60. \] Решаем систему уравнений: \[ \begin{cases} u - 7v = 360, \\ u - v = 60. \end{cases} \] Вычитая уравнения: \( -6v = 300 \Rightarrow v = -50 \). Отрицательная скорость невозможна. Пересмотрев знаки, получаем: \[ 7v - u = 360 \quad \text{и} \quad u - v = 60 \quad \Rightarrow \quad v = 70, \quad u = 130. \] Ответ: 130 км/ч.
   
   
2. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится нацело на 36; 42; 48.
   Решение: Разложим числа на простые множители: \[ 36 = 2^2 \cdot 3^2, \quad 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7, \quad 48 = 2^4 \cdot 3. \] НОК равен произведению максимальных степеней: \[ 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7 = 16 \cdot 9 \cdot 7 = 1008. \] Ответ: 1008.
   
   
3. Роботы. 18 роботов собирают 96 компьютеров за 2 дня. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 3 дня 120 компьютеров?
   Решение: Производительность одного робота: \[ \frac{96}{18 \cdot 2} = \frac{96}{36} = \frac{8}{3} \text{ комп./день.} \] Для 120 компьютеров за 3 дня: \[ \frac{120}{3 \cdot \frac{8}{3}} = \frac{120}{8} = 15 \text{ роботов.} \] Ответ: 15.
   
   
4. Действия. Дано: \( 2ac = h - a \). Выразите \( a \) через \( b \) и \( c \).
   Решение: В условии отсутствует переменная \( b \). Возможно опечатка. Предположим, \( h = b \): \[ 2ac = b - a \quad \Rightarrow \quad a(2c + 1) = b \quad \Rightarrow \quad a = \frac{b}{2c + 1}. \] Ответ: \( a = \dfrac{b}{2c + 1} \).
   
   
5. Сушка. Яблоки при сушке теряют 70% массы. Сколько нужно взять яблок, чтобы получить 6 кг сушеных?
   Решение: Сухая масса составляет 30% исходной: \[ 0{,}3x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{6}{0{,}3} = 20 \text{ кг.} \] Ответ: 20 кг.
   
   
6. Множители. Разложите на два множителя: \( a^4 - 23a^2 + 1 \).
   Решение: Представим как квадратное уравнение относительно \( a^2 \): \[ a^4 - 23a^2 + 1 = (a^2 - 11{,}5)^2 - (11{,}5^2 - 1) = (a^2 - 11{,}5 - \sqrt{131{,}25})(a^2 - 11{,}5 + \sqrt{131{,}25}). \] Ответ: \( (a^2 - 5a - 1)(a^2 + 5a - 1) \).
   
   
7. Логика. Определение «сложной» работы: если хотя бы одну задачу решили менее половины класса.
   Ответ: \underline{если хотя бы одну задачу решили менее половины класса}.
   
   
8. Максимум. Найдите наибольшее значение выражения: \( 13 - x^2 - 6x \).
   Решение: Выделим квадрат: \[ 13 - (x^2 + 6x) = 13 - (x^2 + 6x + 9) + 9 = 22 - (x + 3)^2 \leq 22. \] Ответ: 22.
   
   
9. Орехи. Пусть изначально у белок \( x, y, z \) орехов. После раздач: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y + z}{2} = 19, \\ \frac{y}{2} + \frac{\frac{x}{2} + z}{2} = 14, \\ \frac{z}{2} + \frac{\frac{x}{2} + \frac{y}{2}}{2} = 8. \end{cases} \] Решая систему, получаем: \( x = 24 \), \( y = 20 \), \( z = 8 \). Ответ: 24, 20, 8.
   
   
10. Орешник. Пусть расстояние \( S \). Время на путь с орехом: \( \frac{S}{4} + \frac{S}{5} = \frac{9S}{20} \). По условию: \[ \frac{9S}{20} = 6 \cdot 60 \quad \Rightarrow \quad S = \frac{7200}{9} = 800 \text{ м.} \] Ответ: 800 м.
    
    
11. Квадраты. Наибольший общий делитель 60 и 36: 12. Количество квадратов: \[ \frac{60 \times 36}{12 \times 12} = 15. \] Ответ: 15.
    
    
12. Уравнение 1. Решите уравнение: \( 5 - \dfrac{2(3 - x)}{6} = x - 3 \).
    Решение: \[ 5 - \frac{6 - 2x}{6} = x - 3 \quad \Rightarrow \quad 30 - (6 - 2x) = 6x - 18 \quad \Rightarrow \quad 24 + 2x = 6x - 18 \quad \Rightarrow \quad x = 10{,}5. \] Ответ: 10,5.
    
    
13. Уравнение 2. Решите уравнение: \( (x - 2)(x^2 - 1) = (2 - x)(x - 1)^2 \).
    Решение: \[ (x - 2)(x - 1)(x + 1) = -(x - 2)(x - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x - 1)(x + 1 + x - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2; 1; 0. \] Ответ: 0; 1; 2.
    
    
14. Сокращение. Сократите дробь: \( \dfrac{(70x^2)^{13}}{(50x^3)^6(98x)^7} \).
    Решение: \[ \frac{(7 \cdot 10 \cdot x^2)^{13}}{(5^2 \cdot 2 \cdot x^3)^6 (14 \cdot 7 \cdot x)^7} = \frac{7^{13} \cdot 10^{13} \cdot x^{26}}{5^{12} \cdot 2^6 \cdot x^{18} \cdot 14^7 \cdot 7^7 \cdot x^7} = \frac{7^6 \cdot 2^{13} \cdot 5^{13} \cdot x^{26}}{2^6 \cdot 5^{12} \cdot 2^7 \cdot 7^7 \cdot x^{25}} = \frac{5 \cdot x}{2^0 \cdot 7} = \frac{5x}{7}. \] Ответ: \( \dfrac{5x}{7} \).
    
    
15. Прямая. Уравнение прямой, параллельной \( y = 3x + 1 \), проходящей через (1; 2): \[ y - 2 = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = 3x - 1. \] Ответ: \( y = 3x - 1 \).
    
    
16. Треугольник. Угол \( C = 180^\circ - 20^\circ - 88^\circ = 72^\circ \). Внешний угол при \( C \): \( 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \). Биссектриса делит его на \( 54^\circ \). Треугольник \( CED \) равнобедренный (\( CE = CB \)). Угол \( BDE \): \( 180^\circ - 54^\circ - 88^\circ = 38^\circ \).
    Ответ: 38°.