8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2021 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2021
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2021 год


17.03.2021



  1. Множители. Разложите число \( 2^{100} - 5^{20} \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.

  2. Координаты. Найдите координату середины отрезка \( AB \), если \( A(-8;\ 6),\ B(6;\ 8) \).

  3. НОК. Найдите наименьшее общее кратное чисел \( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4 \) и \( 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^3 \).

  4. Дробь. Сократите дробь \( \frac{(15x)^3}{(25x)^2 \cdot (27x)^2} \).

  5. Бег. Оля пробежала дистанцию за 10 минут. Скорость Лены на 25% больше, чем у Оли. За какое время Лена пробежит ту же дистанцию?

  6. Значение. Вычислите значение выражения \( 48y^3 - 72y^2 + 27y \) при \( y = \frac{3}{4} \).

  7. Уравнение 1. Решите уравнение: \( (x+1)(x+2) = (x-1)(x-4) \).

  8. Роботы. 14 роботов собрали 70 компьютеров за 1 день. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 1 день 100 компьютеров?

  9. Обмен. За 20 рублей можно купить $2{,}5$ драхмы. За 10 драхм можно купить 2 евро. Сколько рублей дают за 1 евро?

  10. Среднее. За первые 8 дней апреля средняя температура была $6\degree$, а за 9 дней средняя температура стала $6{,}5\degree$. Сколько градусов было 9-го апреля?

  11. Уравнение 2. Решите: \( 1 - \frac{x-2}{5} = \frac{3x+1}{7} \).

  12. Оси. Найдите координаты точек пересечения осей координат с прямой линией, заданной уравнением \( y = 90 - 1{,}5x \).

  13. Прямая. Напишите уравнение линейной функции, если её график параллелен прямой \( y = -0{,}5x - 100 \) и проходит через точку \( A(200;\ -198) \).

  14. Система. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0, \\ 3x - 5y - 4 = 0. \end{cases} \]

  15. Квадраты. Квадрат со стороной 2 м разрезали на квадратики со стороной 25 см. Если маленькие квадратики наложить в один ряд вдоль одной линии, то какой длины она получится?

  16. Геометрия. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 30^\circ \), угол \( C \) равен \( 90^\circ \). Проведена высота \( CD \) на гипотенузу, причём \( DB = 15 \) см. Найдите \( AD \).
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Множители. Разложите число \( 2^{100} - 5^{20} \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
    Решение: Заметим, что выражение представляет собой разность квадратов: \[ 2^{100} - 5^{20} = (2^{50})^2 - (5^{10})^2 = (2^{50} - 5^{10})(2^{50} + 5^{10}). \] Оба множителя натуральные и больше 1.
    Ответ: \((2^{50} - 5^{10})(2^{50} + 5^{10})\).

  2. Координаты. Найдите координату середины отрезка \( AB \), если \( A(-8;\ 6),\ B(6;\ 8) \).
    Решение: Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат концов: \[ x = \frac{-8 + 6}{2} = -1, \quad y = \frac{6 + 8}{2} = 7. \] Ответ: \((-1;\ 7)\).

  3. НОК. Найдите наименьшее общее кратное чисел \( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4 \) и \( 2^2 \cdot 3^5 \cdot 5^3 \).
    Решение: НОК определяется по максимальным степеням простых множителей: \[ \text{НОК} = 2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^4. \] Ответ: \(2^4 \cdot 3^5 \cdot 5^4\).

  4. Дробь. Сократите дробь \( \frac{(15x)^3}{(25x)^2 \cdot (27x)^2} \).
    Решение: Преобразуем числитель и знаменатель: \[ \frac{(15x)^3}{(25x)^2 \cdot (27x)^2} = \frac{3^3 \cdot 5^3 \cdot x^3}{5^4 \cdot 3^6 \cdot x^4} = \frac{1}{3^3 \cdot 5 \cdot x} = \frac{1}{135x}. \] Ответ: \(\frac{1}{135x}\).

  5. Бег. Оля пробежала дистанцию за 10 минут. Скорость Лены на 25% больше, чем у Оли. За какое время Лена пробежит ту же дистанцию?
    Решение: Скорость Лены в \(1,25\) раза больше. Время обратно пропорционально скорости: \[ t = \frac{10}{1,25} = 8 \text{ минут}. \] Ответ: 8 минут.

  6. Значение. Вычислите значение выражения \( 48y^3 - 72y^2 + 27y \) при \( y = \frac{3}{4} \).
    Решение: Вынесем общий множитель и подставим: \[ 3y(16y^2 - 24y + 9) = 3y(4y - 3)^2 = 3 \cdot \frac{3}{4} \cdot \left(4 \cdot \frac{3}{4} - 3\right)^2 = 0. \] Ответ: 0.

  7. Уравнение 1. Решите уравнение: \( (x+1)(x+2) = (x-1)(x-4) \).
    Решение: Раскроем скобки и упростим: \[ x^2 + 3x + 2 = x^2 - 5x + 4 \quad \Rightarrow \quad 8x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4}. \] Ответ: \(\frac{1}{4}\).

  8. Роботы. 14 роботов собрали 70 компьютеров за 1 день. Сколько нужно роботов, чтобы собрать за 1 день 100 компьютеров?
    Решение: Производительность одного робота: \(\frac{70}{14} = 5\) компьютеров/день. Для 100 компьютеров: \(\frac{100}{5} = 20\) роботов.
    Ответ: 20.

  9. Обмен. За 20 рублей можно купить $2{,}5$ драхмы. За 10 драхм можно купить 2 евро. Сколько рублей дают за 1 евро?
    Решение: \[ 20 \text{ руб} = 2{,}5 \text{ драхм} \quad \Rightarrow \quad 1 \text{ драхма} = 8 \text{ руб}. \] \[ 10 \text{ драхм} = 2 \text{ евро} \quad \Rightarrow \quad 1 \text{ евро} = 5 \text{ драхм} = 5 \cdot 8 = 40 \text{ руб}. \] Ответ: 40 рублей.

  10. Среднее. За первые 8 дней апреля средняя температура была $6\degree$, а за 9 дней средняя температура стала $6{,}5\degree$. Сколько градусов было 9-го апреля?
    Решение: Сумма температур за 8 дней: \(8 \cdot 6 = 48\). Сумма за 9 дней: \(9 \cdot 6{,}5 = 58{,}5\). Температура 9-го дня: \(58{,}5 - 48 = 10{,}5\).
    Ответ: $10{,}5\degree$.

  11. Уравнение 2. Решите: \( 1 - \frac{x-2}{5} = \frac{3x+1}{7} \).
    Решение: Умножим обе части на 35: \[ 35 - 7(x - 2) = 5(3x + 1) \quad \Rightarrow \quad 35 - 7x + 14 = 15x + 5 \quad \Rightarrow \quad 22x = 44 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \] Ответ: 2.

  12. Оси. Найдите координаты точек пересечения осей координат с прямой линией, заданной уравнением \( y = 90 - 1{,}5x \).
    Решение:
    • С осью \(Oy\) (\(x = 0\)): \(y = 90\).
    • С осью \(Ox\) (\(y = 0\)): \(0 = 90 - 1{,}5x \quad \Rightarrow \quad x = 60\).
    Ответ: \((0;\ 90)\), \((60;\ 0)\).

  13. Прямая. Напишите уравнение линейной функции, если её график параллелен прямой \( y = -0{,}5x - 100 \) и проходит через точку \( A(200;\ -198) \).
    Решение: Угловой коэффициент \(k = -0{,}5\). Подставим точку \(A\): \[ -198 = -0{,}5 \cdot 200 + b \quad \Rightarrow \quad b = -98. \] Ответ: \(y = -0{,}5x - 98\).

  14. Система. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x - 2y - 1 = 0, \\ 3x - 5y - 4 = 0. \end{cases} \] Решение: Из первого уравнения \(x = 2y + 1\). Подставим во второе: \[ 3(2y + 1) - 5y - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1, \quad x = 3. \] Ответ: \((3;\ 1)\).

  15. Квадраты. Квадрат со стороной 2 м разрезали на квадратики со стороной 25 см. Если маленькие квадратики наложить в один ряд вдоль одной линии, то какой длины она получится?
    Решение: Площадь квадрата: \(200 \times 200 = 40000\) см². Площадь маленького квадрата: \(25 \times 25 = 625\) см². Количество квадратиков: \(\frac{40000}{625} = 64\). Длина ряда: \(64 \times 25 = 1600\) см = 16 м.
    Ответ: 16 м.

  16. Геометрия. В прямоугольном треугольнике \( ABC \) угол \( A \) равен \( 30^\circ \), угол \( C \) равен \( 90^\circ \). Проведена высота \( CD \) на гипотенузу, причём \( DB = 15 \) см. Найдите \( AD \).
    Решение: В прямоугольном треугольнике с углом \(30^\circ\) высота делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные квадратам катетов. Поскольку \(AD/DB = (AC/BC)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3\), то \(AD = 3 \cdot 15 = 45\) см.
    Ответ: 45 см.
Материалы школы Юайти