Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

1. Степени. Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
2. Делители. Найдите наименьшее число, которое делится на 120, 180 и 48.
3. Плотность. Плотность вещества 1000 кг $/ \mathbf{m}^{3}$. Сколько это г/см ${ }^{3}$ ?
4. Пропорции. Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
5. Уравнение 1. Решите уравнение: $\frac{x+1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$.
6. Уравнение 2. Решите уравнение: $(1-3 x)(x+1)=(3 x-1)(2 x+1)$.
7. Разложение 1. Разложите на множители: $\mathrm{ab}-2 \mathrm{bc}-4 \mathrm{~cd}+2 \mathrm{da}$.
8. Разложение 2. Разложите на множители: $x^{2}+y^{2}-1-2 x y$.
9. Замена. Известно, что $\frac{a}{b}=\frac{2}{3} ; \frac{b}{c}=\frac{5}{7}$. Найдите $\frac{a}{c}$.
10. Ocb. На числовой оси найдите середину отрезка $[-122 ; 198]$.
11. Oтношение. Верёвку длиной 30 см поделили в отношении $5: 7$ (длины частей относятся как 5 к 7). Найдите длину меньшей части.
12. Система. Найдите точные координаты точки пересечения графиков $\mathrm{y}=1,5 \mathrm{x}-2$ и $\mathrm{y}=1-0,5 \mathrm{x}$.
13. Периметр. Квадрат со стороной 5 разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них 16. Найдите периметр второго.
14. Краска. На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на окраску квадратного пола со стороной 6 м?
15. Среднее. Вовочка получил единицу. Сколько пятерок подряд надо ему получить, чтобы его средний бал стал равен 4,5 ?
16. Скорость. Стог сена корова съедает за 6 дней, а коза - за 12 дней. За сколько дней они съедят стог сена вместе?
17. Сплав. Сплав массой 600 г содержит $10 \%$ меди. Сколько меди нужно добавить к этому количеству сплава, чтобы в новом сплаве содержалось $20 \%$ меди?
18. Угол. ВМ - медиана в треугольнике $\mathrm{ABC}, \mathrm{MD}$ - биссектриса угла АМВ, ME - биссектриса угла BMC. Найдите угол DME.

Решения задач

1. Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
   Решение: Разложим числа на простые множители:
   $\frac{3^{7} \cdot (3 \cdot 5)^{5} \cdot (2^{2})^{9}}{(2^{3})^{4} \cdot (3^{2})^{4} \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)^{4}} = \frac{3^{7} \cdot 3^{5} \cdot 5^{5} \cdot 2^{18}}{2^{12} \cdot 3^{8} \cdot 2^{4} \cdot 3^{4} \cdot 5^{4}} = \frac{3^{12} \cdot 5^{5} \cdot 2^{18}}{2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^{4}} = \frac{5 \cdot 2^{2}}{1} = 20$.
   Ответ: 20.
2. Найдите наименьшее число, которое делится на 120, 180 и 48.
   Решение: Разложим числа на простые множители:
   $120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5$, $180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5$, $48 = 2^{4} \cdot 3$.
   НОК равен произведению максимальных степеней: $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$.
   Ответ: 720.
3. Плотность вещества 1000 кг/м³. Сколько это г/см³?
   Решение:
   $1$ кг = $1000$ г, $1$ м³ = $100$ см $\times$ $100$ см $\times$ $100$ см = $10^{6}$ см³.
   $1000$ кг/м³ = $\frac{1000 \cdot 1000 \text{ г}}{10^{6} \text{ см³}} = 1$ г/см³.
   Ответ: 1.
4. Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
   Решение: Производительность одного садовника: $\frac{30}{5 \cdot 3} = 2$ дерева/час.
   За 4 часа 4 садовника посадят: $4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ дерева.
   Ответ: 32.
5. Решите уравнение: $\frac{x+1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$.
   Решение: Умножим обе части на 6:
   $2(x + 1) - 3(x + 2) = 6 \Rightarrow 2x + 2 - 3x - 6 = 6 \Rightarrow -x - 4 = 6 \Rightarrow x = -10$.
   Ответ: $-10$.
6. Решите уравнение: $(1-3x)(x+1)=(3x-1)(2x+1)$.
   Решение: Перенесем все влево и вынесем общий множитель:
   $(1 - 3x)(x + 1 + 2x + 1) = 0 \Rightarrow (1 - 3x)(3x + 2) = 0$.
   Корни: $x = \frac{1}{3}$ и $x = -\frac{2}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$ и $-\frac{2}{3}$.
7. Разложите на множители: $ab - 2bc - 4cd + 2da$.
   Решение: Группировка:
   $(ab + 2da) - (2bc + 4cd) = a(b + 2d) - 2c(b + 2d) = (a - 2c)(b + 2d)$.
   Ответ: $(a - 2c)(b + 2d)$.
8. Разложите на множители: $x^{2} + y^{2} - 1 - 2xy$.
   Решение: Преобразуем выражение:
   $(x - y)^{2} - 1 = (x - y - 1)(x - y + 1)$.
   Ответ: $(x - y - 1)(x - y + 1)$.
9. Найдите $\frac{a}{c}$, если $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b}{c} = \frac{5}{7}$.
   Решение: Перемножим отношения:
   $\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$.
   Ответ: $\frac{10}{21}$.
10. Найдите середину отрезка $[-122; 198]$.
    Решение: Среднее арифметическое концов:
    $\frac{-122 + 198}{2} = \frac{76}{2} = 38$.
    Ответ: 38.
11. Верёвку длиной 30 см поделили в отношении $5:7$. Найдите длину меньшей части.
    Решение: Сумма частей: $5 + 7 = 12$.
    Меньшая часть: $\frac{5}{12} \cdot 30 = 12,5$ см.
    Ответ: 12,5 см.
12. Найдите точные координаты точки пересечения графиков $y = 1,5x - 2$ и $y = 1 - 0,5x$.
    Решение: Приравняем уравнения:
    $1,5x - 2 = 1 - 0,5x \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$.
    $y = 1,5 \cdot 1,5 - 2 = 0,25$.
    Ответ: $(1,5; 0,25)$.
13. Квадрат со стороной 5 см разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них 16 см. Найдите периметр второго.
    Решение: Сторона прямоугольника с периметром 16 см: $2(5 + a) = 16 \Rightarrow a = 3$.
    Второй прямоугольник: стороны 5 см и 2 см, периметр $2(5 + 2) = 14$ см.
    Ответ: 14 см.
14. На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на пол со стороной 6 м?
    Решение: Площадь увеличится в $4$ раза, краски потребуется $1,2 \cdot 4 = 4,8$ кг.
    Ответ: 4,8 кг.
15. Сколько пятерок подряд надо получить, чтобы средний балл стал 4,5, если текущая оценка 1?
    Решение: Уравнение: $\frac{1 + 5n}{n + 1} = 4,5 \Rightarrow 1 + 5n = 4,5n + 4,5 \Rightarrow 0,5n = 3,5 \Rightarrow n = 7$.
    Ответ: 7.
16. За сколько дней корова и коза съедят стог сена вместе?
    Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ стога/день.
    Время: $4$ дня.
    Ответ: 4 дня.
17. Сколько меди добавить к 600 г сплава с 10% меди, чтобы получить 20% меди?
    Решение: Меди в сплаве: $60$ г. Пусть добавили $x$ г меди:
    $\frac{60 + x}{600 + x} = 0,2 \Rightarrow 60 + x = 120 + 0,2x \Rightarrow 0,8x = 60 \Rightarrow x = 75$ г.
    Ответ: 75 г.
18. Найдите угол DME, если ВМ — медиана, MD и ME — биссектрисы углов АМВ и ВМС.
    Решение: Сумма углов АМВ и ВМС равна $180^{\circ}$. Биссектрисы делят их пополам, сумма половинок: $90^{\circ}$.
    Ответ: $90^{\circ}$.