Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 9

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 9

Вопрос 1.

• Определения: биссектриса, медиана, высота, равенство треугольников. Сформулировать три признака равенства треугольников. (без доказательства) Теорема о равенстве соответствующих медиан, высот и биссектрис в равных треугольниках (без использования суммы углов треугольника).

Вопрос 2.

• Определения: окружность, касательная, секущая, общая касательная к двум окружностям (внешняя и внутренняя) Теорема о количестве общих точек прямой и окружности Свойство касательной Признак касательной Теорема об отрезках касательных

Задачи:

1. Постройте треугольник по двум его сторонам и медиане, проведенной к третьей.
2. Разность боковых сторон треугольника равна 2, а его основание в три раза больше меньшей из них. Докажите, что периметр треугольника больше 5.

Решения задач

1. Теоретический вопрос 1:
   • Определения:
     • Биссектриса треугольника — отрезок, делящий угол треугольника на две равные части.
     • Медиана треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
     • Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).
     • Треугольники равны, если при наложении их можно совместить.
   • Признаки равенства треугольников:
     1. По двум сторонам и углу между ними.
     2. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
     3. По трём сторонам.
   • Теорема: В равных треугольниках соответствующие медианы, высоты и биссектрисы равны.
     Доказательство: При наложении равных треугольников их элементы совпадают, следовательно, соответствующие медианы, высоты и биссектрисы также совпадают.
2. Теоретический вопрос 2:
   • Определения:
     • Окружность — множество точек, равноудалённых от центра.
     • Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.
     • Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.
     • Общая касательная двух окружностей — прямая, касающаяся обеих окружностей. Внешняя касательная не пересекает отрезок между центрами, внутренняя — пересекает.
   • Теоремы:
     1. Прямая и окружность могут иметь 0, 1 или 2 общие точки.
     2. Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
     3. Если прямая перпендикулярна радиусу в точке на окружности, то она является касательной.
     4. Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.
3. Задача 1: Построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.
   Решение:
   1. Пусть даны стороны $AB = a$, $AC = b$ и медиана $AM = m$ к стороне $BC$.
   2. Построим треугольник $ABM'$, где $BM' = \frac{BC}{2}$. Для этого:
      • Проведём отрезок $AB = a$.
      • Из точки $A$ радиусом $m$ проведём дугу окружности.
      • Из точки $B$ радиусом $\frac{b}{2}$ проведём вторую дугу. Точка пересечения дуг — $M'$.
   3. Продлим $BM'$ за точку $M'$ на длину $M'C = BM'$. Получим точку $C$.
   4. Соединим точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.
4. Задача 2: Доказать, что периметр треугольника больше 5.
   Решение:
   • Пусть боковые стороны равны $x$ и $x + 2$, основание — $3x$.
   • По неравенству треугольника: $x + (x + 2) > 3x$ $\Rightarrow$ $2x + 2 > 3x$ $\Rightarrow$ $x < 2$.
   • Периметр: $P = x + (x + 2) + 3x = 5x + 2$.
   • Учитывая $x > \frac{2}{3}$ (из условия $3x < x + (x + 2)$), минимальный периметр:
     $P_{min} = 5 \cdot \frac{2}{3} + 2 = \frac{10}{3} + 2 = \frac{16}{3} \approx 5,33 > 5$.
     Таким образом, $P > 5$ при всех допустимых $x$.
   Ответ: Периметр треугольника больше 5.