Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 6

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 6

Вопрос 9.

• Параллелограмм (определение и свойства).
• Диагонали параллелограмма.

Вопрос 15.

• Касательная к окружности.
• Теорема о радиусе, проведённом в точку касания.

Задачи:

1. Дан четырёхугольник \(ABCD\). Где находится такая точка \(O\), что \(AO = CO\), \(BO = DO\)? Сколько может быть таких точек?
2. На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) взяли произвольные точки \(M\) и \(K\), причём отрезки \(AK\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(\angle AMC + \angle AKC > \angle AOC\).

Решения задач

1. Дан четырёхугольник \(ABCD\). Где находится такая точка \(O\), что \(AO = CO\), \(BO = DO\)? Сколько может быть таких точек?
   Решение:
   Точка \(O\), удовлетворяющая условиям \(AO = CO\) и \(BO = DO\), является серединой обеих диагоналей четырёхугольника. В параллелограмме диагонали делятся пополам, поэтому такая точка существует и единственна (точка пересечения диагоналей).
   В произвольном четырёхугольнике:
   • Если диагонали пересекаются и делятся пополам — четырёхугольник является параллелограммом, и точка \(O\) единственна.
   • Если диагонали не делятся пополам — таких точек не существует.
   • В вырожденных случаях (например, если диагонали совпадают) может быть бесконечно много точек, удовлетворяющих условию.
   Ответ: Такая точка \(O\) существует только в параллелограмме и является точкой пересечения диагоналей. В общем случае — 0 или 1 точка.
   
   
2. На сторонах \(AB\) и \(BC\) треугольника \(ABC\) взяли произвольные точки \(M\) и \(K\), причём отрезки \(AK\) и \(CM\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(\angle AMC + \angle AKC > \angle AOC\).
   Решение:
   Рассмотрим треугольник \(AOC\). Угол \(\angle AOC\) является внутренним углом этого треугольника.
   Углы \(\angle AMC\) и \(\angle AKC\) — внешние углы для треугольников \(AMC\) и \(AKC\) соответственно. По теореме о внешнем угле: \[ \angle AMC = \angle MAC + \angle MCA, \quad \angle AKC = \angle KAC + \angle KCA \] Сумма этих углов: \[ \angle AMC + \angle AKC = (\angle MAC + \angle KAC) + (\angle MCA + \angle KCA) = \angle AOC + (\angle MCA + \angle KCA) \] Поскольку \(\angle MCA + \angle KCA > 0\), получаем: \[ \angle AMC + \angle AKC > \angle AOC \] Ответ: Неравенство доказано.