Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 5
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2020 год
Билет 5
Вопрос 6.
- Равные фигуры (определение).
- Признаки равенства треугольников.
- Симметрия (осевая и центральная).
Вопрос 17.
- Описанная окружность. Центр описанной окружности.
- Теорема о пересечении биссектрис — центр вписанной окружности.
Задачи:
- Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
- В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что угол \(AOC = 90^\circ\).
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вопрос 6.
- Равные фигуры — фигуры, которые можно совместить друг с другом с помощью движения (поворота, переноса, отражения). Форма и размеры равных фигур идентичны.
- Признаки равенства треугольников:
- По двум сторонам и углу между ними (SAS).
- По стороне и двум прилежащим углам (ASA).
- По трём сторонам (SSS).
- Симметрия:
- Осевая симметрия — симметрия относительно прямой (оси). Точки, симметричные относительно оси, лежат на перпендикулярах к оси на равных расстояниях от неё.
- Центральная симметрия — симметрия относительно точки (центра). Точки, симметричные относительно центра, лежат на прямой, проходящей через центр, на равных расстояниях от него.
- Вопрос 17.
- Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника. Её центр (центр описанной окружности) находится в точке пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника.
- Теорема о вписанной окружности: Центр вписанной окружности треугольника лежит в точке пересечения его биссектрис. Эта точка равноудалена от всех сторон треугольника.
- Задача 1. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство: Пусть в треугольнике \(ABC\) медианы \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\) пересекаются в точке \(O\).
Рассмотрим отрезки \(AO\) и \(A_1O\). По свойству медиан: \[ \frac{AO}{OA_1} = \frac{2}{1}. \] Аналогично для других медиан. Таким образом, точка \(O\) делит каждую медиану в отношении \(2:1\), считая от вершины. Поскольку это соотношение выполняется для всех медиан, они пересекаются в одной точке — центроиде треугольника. - Задача 2. В треугольнике \(ABC\) биссектрисы \(AD\) и \(CE\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что угол \(AOC = 90^\circ\).
Доказательство: Пусть \(\angle BAC = 2\alpha\), \(\angle BCA = 2\gamma\). Тогда биссектрисы делят их на \(\alpha\) и \(\gamma\). В треугольнике \(AOC\): \[ \angle OAC = \alpha, \quad \angle OCA = \gamma. \] Сумма углов треугольника \(AOC\): \[ \angle AOC = 180^\circ - (\alpha + \gamma). \] Учитывая, что \(\alpha + \gamma = \frac{\angle BAC + \angle BCA}{2} = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2}\), получаем: \[ \angle AOC = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = 90^\circ + \frac{\angle ABC}{2}. \] Для выполнения условия \(\angle AOC = 90^\circ\) необходимо, чтобы \(\angle ABC = 0^\circ\), что невозможно. Следовательно, в условии задачи допущена ошибка. Верное утверждение: \(\angle AOC = 90^\circ + \frac{\angle ABC}{2}\).
Материалы школы Юайти