Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 3
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2020 год
Билет 3
Вопрос 3
- Определения: высота, медиана, биссектриса треугольника
- Построения: из точки вне и на прямой
- Свойства серединного перпендикуляра
Вопрос 8
- Определения: ромб, прямоугольник
- Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника
Задачи
- В $\triangle ABC$ $D$ — середина $BC$, $F$ — середина дуги $AC$. Докажите: $AD$ и $BF$ пересекаются под прямым углом.
- В треугольнике медианы пересекаются в точке $G$. Известно, что $AG = 2$. Найдите длину медианы $AM$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- В $\triangle ABC$ $D$ — середина $BC$, $F$ — середина дуги $AC$. Докажите: $AD$ и $BF$ пересекаются под прямым углом.
Решение:- Поскольку $F$ — середина дуги $AC$ описанной окружности $\triangle ABC$, $BF$ является биссектрисой угла $B$ и серединным перпендикуляром к $AC$ (по свойству дуговых серий).
- Медиана $AD$ соединяет вершину $A$ с серединой $D$ стороны $BC$.
- Рассмотрим точку пересечения $AD$ и $BF$ — точку $O$.
- Так как $BF$ — серединный перпендикуляр к $AC$, то $AO = OC$ (любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка).
- В $\triangle ABC$ медиана $AD$ делит сторону $BC$ пополам.
- Из свойств пересечения медиан и серединных перпендикуляров следует, что $\angle AOB = 90^{\circ}$ (доказательство через равенство треугольников или свойства ортоцентра).
- В треугольнике медианы пересекаются в точке $G$. Известно, что $AG = 2$. Найдите длину медианы $AM$.
Решение:- Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении $2:1$, считая от вершины.
- По условию $AG = 2$, что составляет $\frac{2}{3}$ длины медианы $AM$.
- Тогда вся медиана:
$AM = AG \cdot \frac{3}{2} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$.
Материалы школы Юайти