8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2020 год


Билет 2



Вопрос 10



  • Теорема о неравенстве треугольника
  • Следствия: разность сторон, о трёх точках на прямой
  • Теорема "резинки"


Вопрос 16



  • Определения: срединный перпендикуляр, описанная окружность
  • Критерий принадлежности срединному перпендикуляру
  • Теорема о пересечении срединных перпендикуляров треугольника
  • Центр описанной окружности


Задачи



  1. В четырёхугольнике два противоположных угла — прямые, а соединяющая их диагональ делится пополам другой. Докажите: диагонали равны или перпендикулярны.
  2. Докажите, что два треугольника равны по двум сторонам и медиане к третьей стороне.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вопрос 10: Теорема о неравенстве треугольника
    • Теорема: В любом треугольнике сумма длин двух любых сторон больше длины третьей стороны.
    • Следствия:
      1. Разность длин двух сторон треугольника меньше длины третьей стороны.
      2. Если три точки лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, и сумма расстояний от неё до крайних точек равна расстоянию между крайними точками.
    • Теорема "резинки": Если точка не лежит на прямой, содержащей отрезок, то сумма расстояний от этой точки до концов отрезка больше длины отрезка.


  2. Вопрос 16: Срединный перпендикуляр и описанная окружность
    • Срединный перпендикуляр — прямая, перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину.
    • Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины треугольника.
    • Критерий принадлежности: Точка лежит на срединном перпендикуляре отрезка тогда и только тогда, когда она равноудалена от концов этого отрезка.
    • Теорема: Срединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной окружности.


  3. Задача 1. В четырёхугольнике два противоположных угла — прямые, а соединяющая их диагональ делится пополам другой. Докажите: диагонали равны или перпендикулярны.
    Доказательство:
    Пусть в четырёхугольнике \(ABCD\) углы \(A\) и \(C\) — прямые, диагональ \(BD\) делится диагональю \(AC\) пополам в точке \(O\). Тогда:
    • Треугольники \(ABD\) и \(CBD\) прямоугольные (\( \angle A = \angle C = 90^\circ \)).
    • Точка \(O\) — середина \(BD\), значит \(BO = OD\).
    • Рассмотрим треугольники \(AOB\) и \(COD\):
      • \(AO = OC\) (по условию деления пополам),
      • \(BO = OD\),
      • \( \angle AOB = \angle COD \) (вертикальные углы).
    • Если \(AB = CD\), то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, тогда \(AC = BD\) (диагонали равны).
    • Если \(AB \neq CD\), то из прямоугольных треугольников \(ABD\) и \(CBD\) следует, что \(AC \perp BD\) (по свойству диагоналей прямоугольника или ромба).
    Таким образом, диагонали либо равны, либо перпендикулярны. \quad \(\square\)

  4. Задача 2. Докажите, что два треугольника равны по двум сторонам и медиане к третьей стороне.
    Доказательство:
    Пусть треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) имеют:
    • \(AB = A_1B_1\),
    • \(AC = A_1C_1\),
    • Медианы \(AM\) и \(A_1M_1\) к сторонам \(BC\) и \(B_1C_1\) равны (\(AM = A_1M_1\)).
    • Дополним каждый треугольник до параллелограмма \(ABDC\) и \(A_1B_1D_1C_1\), где \(D\) и \(D_1\) — вершины, симметричные \(A\) и \(A_1\) относительно \(M\) и \(M_1\).
    • В параллелограмме \(ABDC\): \(AD = 2AM\), \(BC = AD\) (по свойству диагоналей параллелограмма).
    • Аналогично для второго параллелограмма: \(A_1D_1 = 2A_1M_1\), \(B_1C_1 = A_1D_1\).
    • Так как \(AM = A_1M_1\), то \(AD = A_1D_1\), следовательно, \(BC = B_1C_1\).
    • Треугольники \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) равны по трём сторонам (\(AB = A_1B_1\), \(AC = A_1C_1\), \(BC = B_1C_1\)).
Материалы школы Юайти