Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 14

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 14

Вопрос 11.

• Определения: секущая, внутренние накрест лежащие углы, внутренние односторонние углы, соответствующие углы
• Признаки параллельности прямых
• Следствия:
  1. Две прямые перпендикулярны третьей
  2. Соответственные углы
  3. О единственности параллельной прямой
• Свойства параллельных прямых
• Следствие: о прямой, перпендикулярной одной из параллельных

Вопрос 17.

• Определения: хорда, диаметр, дуга окружности
• Теорема о диаметре, перпендикулярном к хорде
• Теорема о среднем перпендикуляре к хорде
• Теорема о хордах, равноудалённых от центра
• Свойство равных хорд в окружности

Задачи:

1. В треугольнике \(ABC\) провели медиану \(BM\). Известно, что \(AB > BC\). Сравните углы \(ABM\) и \(CBM\).
2. Дан шестиугольник, никакие стороны которого не параллельны. Сколько существует точек, которые равноудалены от трёх его данных непересекающихся сторон?

Решения задач

1. Вопрос 11.
   • Определения:
     • Секущая — прямая, пересекающая две другие прямые.
     • Внутренние накрест лежащие углы — углы, расположенные между прямыми по разные стороны секущей.
     • Внутренние односторонние углы — углы, расположенные между прямыми по одну сторону секущей.
     • Соответственные углы — углы, расположенные по одну сторону секущей, один из которых находится внутри, а другой — снаружи между прямыми.
   • Признаки параллельности прямых:
     1. Если внутренние накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.
     2. Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, прямые параллельны.
     3. Если соответственные углы равны, прямые параллельны.
   • Следствия:
     1. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.
     2. Соответственные углы при параллельных прямых равны.
     3. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.
   • Свойства параллельных прямых:
     • Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.
     • Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$.
   • Следствие: Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой.
2. Вопрос 17.
   • Определения:
     • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
     • Диаметр — хорда, проходящая через центр окружности.
     • Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками.
   • Теоремы:
     1. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
     2. Средний перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.
     3. Равные хорды равноудалены от центра окружности.
   • Свойство равных хорд: Равные хорды стягивают равные дуги.
3. Задача 1. В треугольнике \(ABC\) провели медиану \(BM\). Известно, что \(AB > BC\). Сравните углы \(ABM\) и \(CBM\).
   Решение:
   Медиана \(BM\) делит сторону \(AC\) пополам: \(AM = MC\). Рассмотрим треугольники \(ABM\) и \(CBM\):
   • \(AM = MC\) (по определению медианы),
   • \(BM\) — общая сторона,
   • \(AB > BC\) (по условию).
   В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В треугольнике \(ABM\) сторона \(AB\) больше стороны \(BC\) в треугольнике \(CBM\). Следовательно, \(\angle ABM > \angle CBM\).
   Ответ: \(\angle ABM > \angle CBM\).
4. Задача 2. Дан шестиугольник, никакие стороны которого не параллельны. Сколько существует точек, которые равноудалены от трёх его данных непересекающихся сторон?
   Решение:
   Точки, равноудалённые от трёх сторон шестиугольника, лежат на пересечении биссектрис углов, образованных этими сторонами. Для каждой стороны можно провести две биссектрисы (внутреннюю и внешнюю). Комбинации из трёх биссектрис (внутренних или внешних) дают \(2^3 = 8\) точек пересечения. Таким образом, существует 8 точек, равноудалённых от трёх непересекающихся сторон.
   Ответ: 8 точек.