Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 13

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

Билет 13

Вопрос 12.

• Определения: перпендикулярные прямые, расстояние от точки до прямой, расстояние между параллельными прямыми
• Теорема о биссектрисе внутренних односторонних и накрест лежащих углов при параллельных прямых
• Теорема о перпендикулярных прямых
• Теорема о существовании и единственности перпендикуляра к прямой
• Теорема о расстоянии между параллельными прямыми

Вопрос 19.

• Определения: центральный угол, вписанный угол
• Теорема о вписанном угле
• Следствие: опираются на одну дугу
• Теорема об углах внутри и вне окружности

Задачи:

1. В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M, N, P, Q\) — соответственно середины сторон \(AB, BC, CD, DA\). Докажите, что отрезки \(MR\) и \(NQ\) точкой пересечения делятся пополам.
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Докажите, что один из его катетов в два раза короче гипотенузы, используя материал ранее: суммы углов треугольника.

Решения задач

1. В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M, N, P, Q\) — середины сторон \(AB, BC, CD, DA\). Докажите, что отрезки \(MR\) и \(NQ\) точкой пересечения делятся пополам.
   Решение:
   Предположим, что в условии задачи имеется опечатка, и речь идет об отрезках \(MP\) и \(NQ\). Рассмотрим четырёхугольник \(MNPQ\), образованный серединами сторон исходного четырёхугольника. По теореме о средней линии:
   \(MQ \parallel BD \parallel NP\) и \(MQ = \frac{1}{2}BD = NP\)
   \(MN \parallel AC \parallel QP\) и \(MN = \frac{1}{2}AC = QP\)
   Следовательно, \(MNPQ\) — параллелограмм. В параллелограмме диагонали \(MP\) и \(NQ\) делятся точкой пересечения пополам, что и требовалось доказать.
   Ответ: Доказано.
   
   
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Докажите, что один из его катетов в два раза короче гипотенузы.
   Решение:
   Пусть углы треугольника равны \(90^\circ\), \(\alpha\) и \(2\alpha\). По теореме о сумме углов:
   \(90^\circ + \alpha + 2\alpha = 180^\circ \Rightarrow 3\alpha = 90^\circ \Rightarrow \alpha = 30^\circ\)
   Таким образом, углы треугольника: \(30^\circ\), \(60^\circ\), \(90^\circ\). В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы. Пусть гипотенуза \(AB = c\), тогда катет \(BC = \frac{c}{2}\) (против угла \(30^\circ\)).
   Ответ: Доказано.