8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 12

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2020 год


Билет 12



Вопрос 7.



  • Определения: прямой угол, прямоугольный треугольник, катет, гипотенуза
  • Пять признаков равенства прямоугольных треугольников
  • (без использования суммы углов треугольника)


Вопрос 22.



  • Определение: вписанный четырёхугольник
  • Свойство вписанного четырёхугольника (сумма углов)
  • Свойство вписанного четырёхугольника (бабочка)
  • Признак вписанного четырёхугольника (сумма углов)
  • Теорема о равных углах, опирающихся на один отрезок (бабочка)


Задачи:



  1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, меньше полусуммы его диагоналей.
  2. Дан четырёхугольник \(ABCD\), в котором \(\angle A = \angle D\), \(\angle B = \angle C\), причём \(AB\) и \(CD\) не параллельны. Докажите, что \(AB = CD\), используя материал ранее: суммы углов треугольника.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Вопрос 7. Определения и признаки равенства прямоугольных треугольников
    • Прямой угол — угол, равный $90^\circ$.
    • Прямоугольный треугольник — треугольник, содержащий прямой угол.
    • Катеты — стороны, образующие прямой угол.
    • Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу.
    Признаки равенства прямоугольных треугольников:
    1. По двум катетам.
    2. По катету и гипотенузе.
    3. По гипотенузе и острому углу.
    4. По катету и прилежащему острому углу.
    5. По катету и противолежащему острому углу.
  2. Вопрос 22. Свойства вписанных четырёхугольников
    • Вписанный четырёхугольник — четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности.
    • Свойства:
      1. Сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
      2. Если суммы противоположных сторон равны, четырёхугольник может быть вписанным (теорема "бабочка").
    • Признак вписанного четырёхугольника: Если сумма противоположных углов равна $180^\circ$, четырёхугольник вписанный.
    • Теорема о равных углах: Углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
  3. Задача 1. Докажите, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, меньше полусуммы его диагоналей.
    Доказательство: Пусть $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$:
    • Отрезок $MN$ — средняя линия четырёхугольника. По свойству средней линии:
    • $MN = \frac{1}{2}(AD + BC)$ (неверно, нужно пересмотреть).
    • Используем векторный подход: $MN = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{BD})$.
    • По неравенству треугольника: $|MN| < \frac{1}{2}(|AC| + |BD|)$.
    Таким образом, $MN < \frac{AC + BD}{2}$, что и требовалось доказать.
  4. Задача 2. Дан четырёхугольник $ABCD$, где $\angle A = \angle D$, $\angle B = \angle C$, причём $AB$ и $CD$ не параллельны. Докажите, что $AB = CD$.
    Доказательство:
    • Сумма углов четырёхугольника: $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$.
    • Из условия: $2\angle A + 2\angle B = 360^\circ \Rightarrow \angle A + \angle B = 180^\circ$.
    • Следовательно, $AD \parallel BC$ (по признаку параллельности прямых).
    • Проведём высоты $AH$ и $DK$ к стороне $BC$. Треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и острому углу.
    • Из равенства треугольников следует: $AB = CD$.
Материалы школы Юайти