8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2020 год билет 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2020
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2020 год


Билет 1



Вопрос 13



  • Определения: острый угол, тупой угол, прямой угол
  • Теорема о сумме углов треугольника
  • Следствие: острые углы треугольника
  • Теорема о внешнем угле треугольника (про сумму)
  • Теорема о сумме углов $n$-угольника


Вопрос 24



  • Определение: ортоцентр
  • Теорема о пересечении высот треугольника
  • Теорема об окружностях, проходящих через основания двух высот треугольника
  • Окружность Эйлера (окружность четырёх точек)


Задачи



  1. $\angle BAC = \angle BDC$, $\angle CAD = \angle ADB$. Докажите, что $AB = CD$.
  2. $BO = OD$, $\angle OBM = \angle ODM$. Докажите, что $O$ принадлежит биссектрисе угла $M$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Теоретический вопрос 13:
    • Определения:
      • Острый угол — угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.
      • Тупой угол — угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.
      • Прямой угол — угол, равный $90^\circ$.
    • Теорема о сумме углов треугольника: Сумма внутренних углов треугольника равна $180^\circ$.
    • Следствие: В треугольнике не может быть более одного прямого или тупого угла. Все углы остроугольного треугольника — острые.
    • Теорема о внешнем угле треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
    • Теорема о сумме углов $n$-угольника: Сумма внутренних углов выпуклого $n$-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$.


  2. Теоретический вопрос 24:
    • Ортоцентр — точка пересечения высот треугольника.
    • Теорема: Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре.
    • Теорема: Окружность, проходящая через основания двух высот треугольника, также проходит через две вершины треугольника.
    • Окружность Эйлера (9 точек): Окружность, проходящая через середины сторон треугольника, основания его высот и середины отрезков от ортоцентра до вершин.


  3. Задача 1: $\angle BAC = \angle BDC$, $\angle CAD = \angle ADB$. Докажите, что $AB = CD$.
    Решение:
    • Рассмотрим треугольники $ABD$ и $DBC$:
    • $\angle BAC = \angle BDC$ (по условию).
    • $\angle CAD = \angle ADB$ (по условию).
    • Сумма углов: $\angle BAC + \angle CAD = \angle BAD$ и $\angle BDC + \angle ADB = \angle ADC$.
    • Из равенства углов следует $\angle BAD = \angle ADC$.
    • Треугольники $ABD$ и $DBC$ равны по признаку ASA (сторона $AD$ общая, $\angle BAD = \angle ADC$, $\angle ABD = \angle DBC$).
    • Следовательно, $AB = CD$ как соответственные стороны равных треугольников.
    Ответ: Доказано.

  4. Задача 2: $BO = OD$, $\angle OBM = \angle ODM$. Докажите, что $O$ принадлежит биссектрисе угла $M$.
    Решение:
    • Рассмотрим треугольники $OBM$ и $ODM$:
    • $BO = OD$ (по условию).
    • $\angle OBM = \angle ODM$ (по условию).
    • Сторона $OM$ — общая.
    • Треугольники $OBM$ и $ODM$ равны по признаку SAS.
    • Следовательно, $\angle OMB = \angle OMD$.
    • Значит, точка $O$ лежит на биссектрисе угла $M$.
    Ответ: Доказано.
Материалы школы Юайти