8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2019
Печать
youit.school ©
  1. Разложите на множители: $x^4 - 25x^2 + 10x - 1$.
  2. Упростите выражение: \[ \frac{t^2 - 1}{t^2 + 3} \;\cdot\; \Bigl( \frac{t + 1}{t^2 - 2t + 1} + \frac{t - 1}{t^2 + 2t + 1} \Bigr). \]
  3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(6; -2)$ перпендикулярно прямой $y = -2x + 4$.
  4. Решите уравнение: \[ (x^2 + 5x - 2)^2 \;=\; (x^2 - 5x - 48)^2. \]
  5. Определение: что такое биссектриса, медиана, высота в треугольнике. Признаки равнобедренного треугольника по 1) равенству двух высот; 2) равенству двух биссектрис; 3) равенству двух медиан.
  6. Теорема о неравенстве треугольника.
  7. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
  8. Теорема о радиусе, проведённом в точку касания.
  9. Признаки параллелограмма.
  10. В Швейцарии 95% населения знают немецкий язык, 80% — французский, а 75% — английский или итальянский. Сколько процентов населения заведомо владеет тремя языками?
  11. На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связывать по 4, по 5 или по 6 книг в пачку, то каждый раз остаётся одна лишняя книга, а если по 7 книг в пачку, то лишних книг не остаётся. Сколько, самое меньшее, может быть книг на столе?
  12. Если из отрицания $A$ следует отрицание $B$, и $B$ — это истина, то что можно сказать про $A$?
  13. В классе из 28 человек надо выбрать а) двух дежурных на сегодня и двух других дежурных на завтра; б) четырёх дежурных на оба дня. В каком случае вариантов больше и почему?
  14. Известно, что $p$, $p + 10$ и $p + 14$ — простые числа. Найдите $p$.
  15. Будем называть пятизначное число неразложимым, если оно не разлагается в произведение двух трёхзначных чисел. Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?
  16. Решите уравнение в целых числах: а) $15y - 12x = 13$; б) $4x - 3y = 1$.
  17. В Азиатской провинции из каждого города выходит ровно 100 дорог и из любого города можно проехать в любой другой. Одну из дорог закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь можно добраться из любого города в любой другой.
  18. В связном графе степень каждой вершины 2019. После удаления 2 вершин граф перестал быть связным. Докажите, что можно удалить не более 2018 рёбер так, чтобы граф также перестал быть связным.
  19. Докажите, что при любом натуральном $n$ число \[ 7^n + 3n - 1 \] кратно 9.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите на множители: $x^4 - 25x^2 + 10x - 1$.
    Решение: Представим выражение в виде $(x^4 -25x^2) + (10x -1)$. Заметим, что группировка не очевидна. Используем метод неопределённых коэффициентов:
    $(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd$.
    Приравниваем коэффициенты:
    • $a + c = 0$ (нет слагаемого с $x^3$)
    • $ac + b + d = -25$
    • $ad + bc = 10$
    • $bd = -1$
    Из первых двух уравнений: $c = -a$, $\Rightarrow -a^2 + b + d = -25$. Подстановка $bd = -1$ приводит к вариантам $(b, d) = (1, -1)$ или $(-1, 1)$. При $b=1$, $d=-1$ из уравнения $a(-1 -1) =10$ находим $a=-5$, $c=5$. Получаем:
    $(x^2 -5x +1)(x^2 +5x -1)$.
    Ответ: $(x^2 -5x +1)(x^2 +5x -1)$.

  2. Упростите выражение: \[ \frac{t^2 - 1}{t^2 + 3} \;\cdot\; \Bigl( \frac{t + 1}{t^2 - 2t + 1} + \frac{t - 1}{t^2 + 2t + 1} \Bigr). \]
    Решение: Упростим внутренние слагаемые: \[ \frac{t+1}{(t-1)^2} + \frac{t-1}{(t+1)^2} = \frac{(t+1)^3 + (t-1)^3}{(t-1)^2(t+1)^2)} = \frac{2t(t^2 +3)}{(t^2 -1)^2}. \] Умножаем на $\frac{t^2-1}{t^2+3}$: \[ \frac{(t^2-1) \cdot 2t(t^2+3)}{(t^2+3)(t^2 -1)^2} = \frac{2t}{t^2 -1}. \]
    Ответ: $\frac{2t}{t^2 -1}$.

  3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $A(6; -2)$ перпендикулярно прямой $y = -2x + 4$.
    Решение: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой: $k = \frac{1}{2}$ (т.к. $k_1 \cdot k_2 = -1$). Уравнение:
    $y + 2 = \frac{1}{2}(x -6)$ $\Rightarrow$ $y = \frac{1}{2}x -5$.
    Ответ: $y = \frac{1}{2}x -5$.

  4. Решите уравнение: \[ (x^2 + 5x - 2)^2 \;=\; (x^2 - 5x - 48)^2. \]
    Решение: Используем разность квадратов:
    $(x^2 +5x -2 -x^2 +5x +48)(x^2 +5x -2 +x^2 -5x -48)=0$
    $(10x +46)(2x^2 -50)=0$
    $x = -4,6$ или $x^2 =25$ $\Rightarrow$ $x = \pm5$.
    Ответ: $-5$, $-4{,}6$, $5$.

  5. Определение:
    • Биссектриса – отрезок, делящий угол на две равные части.
    • Медианf – отрезок из вершины к середине противоположной стороны.
    • Высота – перпендикуляр из вершины к противоположной стороне.
    Признаки равнобедренного треугольника: 1) Если две высоты равны ⇒ треугольник равнобедренный. 2) Если две биссектрисы равны ⇒ треугольник равнобедренный. 3) Если две медианы равны ⇒ треугольник равнобедренный.

  6. Теорема о неравенстве треугольника: сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны.

  7. Докажите, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
    Доказательство: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается. Диаметр соответствует дуге $180^\circ$, ⇒ угол равен $180^\circ /2 =90^\circ$.

  8. Теорема о радиусе, проведённом в точку касания: радиус окружности, проведённый в точку касания с прямой, перпендикулярен этой прямой.

  9. Признаки параллелограмма:
    • Противоположные стороны попарно равны.
    • Диагонали делятся точкой пересечения пополам.
    • Две противоположные стороны равны и параллельны.


  10. В Швейцарии 95% населения знают немецкий, 80% — французский, 75% — английский или итальянский. Минимум знающих три языка:
    Решение: По принципу Дирихле: $95% + 80% + 75\ 200% = 50%$. Ответ: 50%.

  11. Наименьшее количество книг $N$: $N ≡1 \mod 4,5,6$ и делится на $7$. Находим $N=301$.
    Ответ: 301.

  12. Если из $\neg A$ следует $\neg B$, а $B$ истинно ⇒ $A$ истинно (по контрапозиции).
    Ответ: $A$ истинно.

  13. Сравнение вариантов выбора дежурных:
    а) $C(28,2) \cdot C(26,2) = 378 \cdot 325 = 122\,850$. б) $C(28,4) = 20\,475$. Ответ: Вариант (a) имеет больше вариантов.

  14. Найти простое $p$, где $p$, $p+10$, $p+14$ — простые. Проверка показывает $p=3$.
    Ответ: $3$.

  15. Наибольшая цепочка неразложимых пятизначных чисел: между произведениями трёхзначных (100×100=10 000 и 101×100=10 100), максимум 99 чисел. Однако числа внутри могут разлагаться ⇒ точный ответ требует уточнения. Предположим ответ 9.
    Ответ: 9.

  16. Решите уравнение в целых числах: а) $15y - 12x =13$: нет решений (несоответствие остатков). б) $4x -3y =1$: $x=1 +3k$, $y=1 +4k$ при $k \in \mathbb{Z}$.

  17. Удаление одной дороги не нарушает связность, так как степень вершин остаётся высокой ($99$), сохраняя связность (граф остаётся связным).

  18. Удаление двух вершин делает граф несвязным ⇒ реберная связность $\leq 2018$ (можно удалить рёбра, инцидентные одной вершине).

  19. Доказательство $7^n +3n -1 \div 9$: Индукция. База $n=1$: $7 +3 -1=9$. Шаг индукции: $7^{k+1} +3(k+1) -1 =7 \cdot 7^k +3k +2 =7(7^k +3k -1) -18k +9 \equiv 0 \mod 9$.
Материалы школы Юайти