8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 2

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2019 год


04.06.2019


Вариант 2



  1. Разложите на множители: $\quad$ \( x^4 - 24x + 11025 \)

  2. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{t + \frac{1}{2 + \frac{1}{t + \frac{1}{2}}}} \right) \]

  3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку \( A(6;\,-2) \), перпендикулярно прямой \( y = -2x + 4 \)

  4. Решите уравнение: \[ (x^2 + 5x - 2)^2 = (x^2 - 5x - 48)^2 \]


Геометрия

  1. Дайте определения: биссектриса, медиана, высота в треугольнике. Также сформулируйте признаки равнобедренного треугольника по:
    • равенству двух высот;
    • равенству двух биссектрис;
    • равенству двух медиан.


  2. (Устно) Теорема о неравенстве треугольника.

  3. Докажите: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

  4. Теорема о радиусе, проведённом в точку касания.

  5. Признаки параллелограмма.


Специальная математика

  1. В Швейцарии 95% населения знают немецкий язык, 80% — французский, а 75% — английский или итальянский. Сколько процентов населения заведомо владеет тремя языками?

  2. На столе лежат книги. При упаковке по 4, 5 или 6 книг остаётся 1 лишняя. При упаковке по 7 книг лишних книг не остаётся. Какое наименьшее число книг может быть на столе?

  3. Если из отрицания A следует отрицание B, а B — истина, то что можно сказать про A?

  4. В классе из 28 человек нужно:
    • а) выбрать двух дежурных на сегодня и двух других на завтра;
    • б) выбрать четырёх дежурных на оба дня.
    В каком случае вариантов больше и почему?

  5. Известно, что \( p,\ p+10,\ p+14 \) — простые числа. Найдите \( p \).

  6. Назовём пятизначное число $\emph{неразложимым}$, если оно не разлагается в произведение двух трёхзначных чисел. Какое наибольшее количество неразложимых пятизначных чисел может идти подряд?


Дополнительные задачи

  1. (Нет в файле) — Пропущен номер 16.

  2. Решите в целых числах:
    • а) \( 15y - 12x = 13 \)
    • б) \( 4x - 3y = 1 \)


  3. В азиатской провинции из каждого города выходит ровно 100 дорог. Из любого города можно проехать в любой другой. Одну из дорог закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь можно добраться из любого города в любой другой.

  4. В связном графе степень каждой вершины равна 2019. После удаления 2 вершин граф перестал быть связным. Докажите, что можно удалить не более 2018 рёбер, чтобы граф тоже перестал быть связным.

  5. Докажите, что при любом натуральном \( n \) выражение \( 7^n + 3n - 1 \) делится на 9.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите на множители: \quad \( x^4 - 24x + 11025 \)
    Решение: Заметим, что \(11025 = 105^2\). Представим выражение в виде: \[ x^4 + 105^2 - 24x = (x^2)^2 + 105^2 - 24x \] Подбором находим разложение: \[ (x^2 - 5x + 105)(x^2 + 5x + 105) \] Проверка: \[ (x^2 - 5x + 105)(x^2 + 5x + 105) = x^4 + 10x^3 + 110x^2 + 1050x + 11025 - (25x^2 + 1050x) = x^4 - 24x + 11025 \] Ответ: \((x^2 - 5x + 105)(x^2 + 5x + 105)\).

  2. Упростите выражение: \[ \left( \frac{1}{t + \frac{1}{2 + \frac{1}{t + \frac{1}{2}}}} \right) \]
    Решение: Последовательно упрощаем внутренние дроби: \[ 2 + \frac{1}{t + \frac{1}{2}} = 2 + \frac{2}{2t + 1} = \frac{4t + 4}{2t + 1} \] \[ t + \frac{1}{\frac{4t + 4}{2t + 1}} = t + \frac{2t + 1}{4t + 4} = \frac{4t^2 + 6t + 1}{4(t + 1)} \] Окончательно: \[ \frac{4(t + 1)}{4t^2 + 6t + 1} \] Ответ: \(\frac{4(t + 1)}{4t^2 + 6t + 1}\).

  3. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку \( A(6;\,-2) \), перпендикулярно прямой \( y = -2x + 4 \)
    Решение: Угловой коэффициент перпендикулярной прямой \(k = \frac{1}{2}\). Подставляем координаты точки: \[ -2 = \frac{1}{2} \cdot 6 + b \quad \Rightarrow \quad b = -5 \] Ответ: \(y = \frac{1}{2}x - 5\).

  4. Решите уравнение: \[ (x^2 + 5x - 2)^2 = (x^2 - 5x - 48)^2 \]
    Решение: Раскрываем равенство квадратов: \[ x^2 + 5x - 2 = x^2 - 5x - 48 \quad \Rightarrow \quad 10x = -46 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{23}{5} \] \[ x^2 + 5x - 2 = -x^2 + 5x + 48 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 = 50 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 5 \] Ответ: \(x = -\frac{23}{5},\; x = 5,\; x = -5\).

  5. Дайте определения:
    • Биссектриса — отрезок, делящий угол вершины пополам.
    • Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны.
    • Высота — перпендикуляр из вершины к противоположной стороне.
    Признаки равнобедренного треугольника:
    • Равенство двух высот \(\Rightarrow\) равнобедренный треугольник.
    • Равенство двух биссектрис \(\Rightarrow\) равнобедренный треугольник.
    • Равенство двух медиан \(\Rightarrow\) равнобедренный треугольник.


  6. Теорема о неравенстве треугольника: сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны.

  7. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен половине центрального угла (\(180^\circ\)), следовательно, равен \(90^\circ\).

  8. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

  9. Признаки параллелограмма:
    • Противоположные стороны попарно равны и параллельны.
    • Диагонали делятся пополам.
    • Противоположные углы равны.


  10. Минимальное пересечение трёх языков: \(95% + 80% + 75\ 200% = 50\%\). Ответ: 50\%.

  11. Наименьшее число книг: \(N = 60k + 1\). При \(k = 5\): \(60 \cdot 5 + 1 = 301\). Проверка: \(301 \div 7 = 43\). Ответ: 301.

  12. Если \(\neg A \Rightarrow \neg B\) и \(B\) истинно, то \(A\) истинно (по контрапозиции).

  13. Вариантов одинаково: \(\binom{28}{2} \binom{26}{2} = \binom{28}{4} \binom{4}{2} = 122850\).

  14. Простые числа: \(p = 3\) (проверка \(3, 13, 17\)). Ответ: 3.

  15. Наибольшая последовательность неразложимых чисел: от 99901 до 99999 (99 чисел). Ответ: 99.

  16. Решите в целых числах:
    • а) Нет решений (несовместно по модулю 3).
    • б) \(x = 1 + 3k\), \(y = 1 + 4k\), \(k \in \mathbb{Z}\).


  17. Граф остаётся связным, так как рёберная связность \(\geq 2\) при степени вершин 100.

  18. Удаление 2018 рёбер в разрезе между компонентами достаточно для нарушения связности.

  19. Индукция: база \(n=1\) — \(9 \div 9\). Шаг индукции: \(7^{n+1} + 3(n+1) - 1 = 7(7^n) + 3n + 2 = 9k\).
Материалы школы Юайти