Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1

1. Разложите число $7^{60} - 4^{30}$ на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
2. Сколько квадратных плиток со стороной 10 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м? (Плитки укладывают вплотную).
3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сначала Кот отдал половину своих монет Лисе, потом Лиса отдала Коту половину того, что у неё стало. В итоге у Кота оказалось 21 монета, а у Лисы — 12. Сколько монет было у Кота и у Лисы до игры (у каждого)?
4. 2 робота за 3 дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9 дней?
5. Чебурашка бежит с скоростью $1/3$ км/мин, а Гена — $1/2$ км/мин. Они выбежали одновременно. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
6. Дано $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{5}{6},\quad \frac{b}{c} = \frac{4}{7}$. Найдите $\displaystyle \frac{c + b}{b + a}$.
7. Контрольную работу назовём сложной, если хотя бы одну задачу никто не решил. Продолжите определение (в общем виде):
8. Разложите на три множителя: $x^3 - a x^2 - a^2 x + a^3$.
9. Сократите дробь: \[ \frac{(2x^3)^5\, (16x^3)^3}{(8x^5)^5}. \]
10. Мама и сын идут в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?
11. Запишите уравнение прямой, график которой параллелен прямой $y = 10 - 0{,}1x$ и проходит через точку $A(20;35)$.
12. Решите уравнение: \[ (x - 2)\,(x - 3)^2 \;=\; (2 - x)\,(x^2 - 2x - 3). \]
13. При каком значении $x$ значение выражения \[ y = (x - 5{,}1)\,(x - 3{,}3) \] будет наименьшим?
14. Длина окружности одного колеса 28 см, а другого — 52 см. Найдите наименьшее расстояние (в см), на котором оба колеса сделают целое число оборотов.
15. Какие значения не может принимать «$y$», заданный выражением \[ y = \frac{6x + 5}{2x - 5}\,? \]
16. В треугольнике $ABC$ угол $A = 30^\circ$, угол $B = 90^\circ$, точка $D$ лежит на $AB$ и $AD = 2\,DB$. Найдите угол $BCD$.

Решения задач

1. Разложите число $7^{60} - 4^{30}$ на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
   Решение: Заметим, что $4^{30} = (2^2)^{30} = 2^{60}$, и применим разность квадратов:
   $7^{60} - 2^{60} = (7^{30} - 2^{30})(7^{30} + 2^{30})$.
   Ответ: $(7^{30} - 2^{30})$ и $(7^{30} + 2^{30})$.
2. Сколько квадратных плиток со стороной 10 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м?
   Решение: Площадь квадрата $60\, \text{м} = 6000\, \text{см}$, площадь одной плитки $10 \times 10 = 100\, \text{см}^2$:
   $\frac{6000^2}{100} = 360000$.
   Ответ: 360000 плиток.
3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сколько монет было у каждого изначально?
   Решение: Пусть у кота $x$ монет, у лисы $y$ монет.
   После первого этапа: кот $\frac{x}{2}$, лиса $y + \frac{x}{2}$.
   После второго этапа: кот $\frac{x}{2} + \frac{y + \frac{x}{2}}{2} = 21$:
   $\begin{cases} 3x + 2y = 84 \\ x + 2y = 48 \end{cases} \Rightarrow x = 18,\ y = 15$.
   Ответ: У кота 18, у лисы 15 монет.
4. 2 робота за 3 дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9 дней?
   Решение: Пропорциональность работ:
   $4 \cdot \frac{8}{2} \cdot \frac{9}{3} = 48$.
   Ответ: 48 компьютеров.
5. Чебурашка бежит с скоростью $1/3$ км/мин, а Гена — $1/2$ км/мин. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
   Решение: Время Гены $t = S / \frac{1}{2} = 2S$. Путь Чебурашки за это время $\frac{1}{3} \cdot 2S = \frac{2S}{3}$:
   Остаток: $S - \frac{2S}{3} = \frac{S}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
6. Дано $\frac{a}{b} = \frac{5}{6}$, $\frac{b}{c} = \frac{4}{7}$. Найдите $\frac{c + b}{b + a}$.
   Решение: Выразим $a = \frac{5}{6}b$, $c = \frac{7}{4}b$:
   $\frac{\frac{7}{4}b + b}{\frac{5}{6}b + b} = \frac{\frac{11}{4}}{\frac{11}{6}} = \frac{3}{2}$.
   Ответ: $1{,}5$.
7. Контрольную работу назовём сложной, если хотя бы одну задачу никто не решил. Продолжите определение:
   Ответ: ...а простой, если все задачи решил хотя бы один ученик.
8. Разложите на три множителя: $x^3 - a x^2 - a^2 x + a^3$.
   Решение: Группировка:
   $(x^3 + a^3) - a x (x + a) = (x + a)(x^2 - a x + a^2) - a x (x + a) = (x + a)(x - a)^2$.
   Ответ: $(x + a)(x - a)(x - a)$.
9. Сократите дробь: $\frac{(2x^3)^5 (16x^3)^3}{(8x^5)^5}$.
   Решение: Преобразуем степени:
   $\frac{32 x^{15} \cdot 4096 x^9}{32768 x^{25}} = \frac{131072 x^{24}}{32768 x^{25}} = \frac{4}{x}$.
   Ответ: $\frac{4}{x}$.
10. Мама и сын прошли на 300 шагов больше. Сколько шагов до школы?
    Решение: Отношение шагов 3:5:
    $\frac{m}{m + 300} = \frac{3}{5} \Rightarrow m = 450$, сын прошёл $750$ шагов.
    Ответ: 750 шагов.
11. Уравнение прямой, параллельной $y = 10 - 0{,}1x$ через $A(20; 35)$:
    Решение: Угловой коэффициент $-0{,}1$:
    $y = -0{,}1x + 37$.
    Ответ: $y = -0{,}1x + 37$.
12. Решите уравнение: $(x - 2)(x - 3)^2 = (2 - x)(x^2 - 2x - 3)$.
    Решение: Перенос и разложение на множители:
    $(x - 2)[(x - 3)^2 + x^2 - 2x - 3] = 0 \Rightarrow x = 1, 2, 3$.
    Ответ: $x = 1; 2; 3$.
13. Наименьшее значение $y = (x - 5{,}1)(x - 3{,}3)$.
    Решение: Вершина параболы $x = \frac{5{,}1 + 3{,}3}{2} = 4{,}2$.
    Ответ: $x = 4{,}2$.
14. Наименьшее расстояние для целых оборотов колёс 28 см и 52 см:
    Решение: НОК(28, 52) = 364 см.
    Ответ: 364 см.
15. Значения, которые не может принимать $y = \frac{6x + 5}{2x - 5}$:
    Решение: Знаменатель не может быть нулём и горизонтальная асимптота $y \neq 3$.
    Ответ: $y \neq 3$.
16. Найдите угол $BCD$ в треугольнике $ABC$ с углами $A = 30^\circ$, $B = 90^\circ$, $AD = 2DB$.
    Решение: Треугольник $BCD$ подобен с соотношением сторон $\frac{BD}{BC} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, угол $30^\circ$.
    Ответ: $30^\circ$.