8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 04.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2019 год


19.04.2019



  1. За 150 руб. дают 2 доллара, за 1 евро дают 0{,}8 доллара. Сколько евро можно купить на 300 руб.?

  2. Сколько квадратных плиток со стороной 45 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 90 м? (Плитки укладывают вплотную).

  3. На карте площадь прямоугольного поля равна 8 см$^2$. Масштаб карты $1\,\text{см} : 900\,000\,\text{см}$. Найдите площадь реального поля. (Ответ в квадратных километрах).

  4. 3 робота за 4 часа собирают 9 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 6 роботов за 2 часа?

  5. Пешеход вышел из пункта A в 12:00 и пришёл в пункт B в 13:00. Велосипедист выехал из A в 12:10 и приехал в B в 12:45. В котором часу велосипедист обогнал пешехода?

  6. Найдите значение выражения \[ \frac{x^2 + y^2 + xy}{x^2 + y^2 - xy}, \quad \text{если} \quad \frac{3x + y}{3x - y} = 5. \]

  7. 15 учителей проверяют все письменные работы за 4 часа. За сколько часов проверят такое же количество работ 6 учителей? Скорость проверки постоянная.

  8. Разложите число $16^8 - 9^{11}$ на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.

  9. Упростите выражение: \[ \frac{27xy^2 \cdot (15x^2 y)^5}{(45xy)^2 \cdot (75x^4 y^3)^2}. \]

  10. За первые 8 дней мая средняя температура была 13°С, а за первые 9 дней — 13{,}5°С. Сколько градусов было 9 мая?

  11. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (7; 14) и (11; 24).

  12. Решите уравнение: \[ (x^2 - 25)(x - 6) = 2(x^2 - 36)(x - 5). \]

  13. Найдите все значения $x, y$, удовлетворяющие уравнению: \[ x^2 + 8xy + 25y^2 = 6y - 1. \]

  14. Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, сделали 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Сколько процентов жира содержит оставшееся молоко?

  15. Какие значения \underline{не может} принимать выражение: \[ \frac{6x + 5}{2x - 5}? \]

  16. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 120^\circ$, серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ пересекают сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Найдите угол $\angle MAN$.
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. За 150 руб. дают 2 доллара, за 1 евро дают 0{,}8 доллара. Сколько евро можно купить на 300 руб.?
    Решение: На 300 руб. можно купить $\frac{300}{150} \cdot 2 = 4$ доллара. Поскольку 1 евро = 0,8 доллара, то 4 доллара = $\frac{4}{0,8} = 5$ евро.
    Ответ: 5.

  2. Сколько квадратных плиток со стороной 45 см понадобится, чтобы выложить квадратную городскую площадь со стороной 90 м?
    Решение: Площадь одной плитки: $0,45 \times 0,45 = 0,2025$ м². Площадь площади: $90 \times 90 = 8100$ м². Количество плиток: $\frac{8100}{0,2025} = 40000$.
    Ответ: 40000.

  3. На карте площадь прямоугольного поля равна 8 см². Масштаб карты $1\,\text{см} : 900\,000\,\text{см}$. Найдите площадь реального поля.
    Решение: Масштаб $1:900000$ означает, что 1 см на карте соответствует 9 км на местности. Площадь в реальности: $8 \times (9 \times 9) = 648$ км².
    Ответ: 648 км².

  4. 3 робота за 4 часа собирают 9 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 6 роботов за 2 часа?
    Решение: Производительность одного робота: $\frac{9}{3 \cdot 4} = 0,75$ компьютера/час. 6 роботов за 2 часа: $0,75 \cdot 6 \cdot 2 = 9$.
    Ответ: 9.

  5. Пешеход вышел из пункта A в 12:00 и пришёл в пункт B в 13:00. Велосипедист выехал из A в 12:10 и приехал в B в 12:45. В котором часу велосипедист обогнал пешехода?
    Решение: Пусть расстояние $S$. Скорость пешехода $v_p = \frac{S}{60}$ км/мин, велосипедиста $v_v = \frac{S}{35}$ км/мин. Время встречи $t$ минут после 12:00:
    $v_p \cdot t = v_v \cdot (t - 10)$. Решая, $t = 24$ минуты.
    Ответ: В 12:24.

  6. Найдите значение выражения $\frac{x^2 + y^2 + xy}{x^2 + y^2 - xy}$, если $\frac{3x + y}{3x - y} = 5$.
    Решение: Из условия $3x + y = 5(3x - y) \Rightarrow y = 1,5x$. Подставляя в выражение: $\frac{x^2 + (1,5x)^2 + x \cdot 1,5x}{x^2 + (1,5x)^2 - x \cdot 1,5x} = \frac{19}{7}$.
    Ответ: $\frac{19}{7}$.

  7. 15 учителей проверяют все письменные работы за 4 часа. За сколько часов проверят такое же количество работ 6 учителей?
    Решение: Время обратно пропорционально количеству учителей: $t = \frac{15 \cdot 4}{6} = 10$ часов.
    Ответ: 10 часов.

  8. Разложите число $16^8 - 9^{11}$ на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
    Решение: $16^8 - 9^{11} = (2^{32} - 3^{22}) = (2^{16} - 3^{11})(2^{16} + 3^{11})$. Оба множителя больше 1.
    Ответ: $(2^{16} - 3^{11})(2^{16} + 3^{11})$.

  9. Упростите выражение: $\frac{27xy^2 \cdot (15x^2 y)^5}{(45xy)^2 \cdot (75x^4 y^3)^2}$.
    Решение: Упрощая степени и коэффициенты: $\frac{27 \cdot 15^5}{45^2 \cdot 75^2} \cdot \frac{x^{11} y^7}{x^{10} y^8} = \frac{9x}{5y}$.
    Ответ: $\frac{9x}{5y}$.

  10. За первые 8 дней мая средняя температура была 13°С, а за первые 9 дней — 13{,}5°С. Сколько градусов было 9 мая?
    Решение: Сумма температур за 9 дней: $13,5 \cdot 9 = 121,5$. За первые 8 дней: $13 \cdot 8 = 104$. Температура 9 мая: $121,5 - 104 = 17,5$°С.
    Ответ: 17,5°С.

  11. Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (7; 14) и (11; 24).
    Решение: Угловой коэффициент $k = \frac{24 - 14}{11 - 7} = 2,5$. Уравнение: $y - 14 = 2,5(x - 7) \Rightarrow y = 2,5x - 3,5$.
    Ответ: $y = 2,5x - 3,5$.

  12. Решите уравнение: $(x^2 - 25)(x - 6) = 2(x^2 - 36)(x - 5)$.
    Решение: Раскладывая на множители: $(x - 5)(x - 6)(x + 5) = 2(x - 6)(x - 5)(x + 6)$. После сокращения: $x = -7, 5, 6$.
    Ответ: $-7; 5; 6$.

  13. Найдите все значения $x, y$, удовлетворяющие уравнению: $x^2 + 8xy + 25y^2 = 6y - 1$.
    Решение: Перепишем как $(x + 4y)^2 + (3y - 1)^2 = 0$. Решение: $x = -\frac{4}{3}$, $y = \frac{1}{3}$.
    Ответ: $x = -\frac{4}{3}$, $y = \frac{1}{3}$.

  14. Из 10 кг молока, содержащего 4% жира, сделали 1 кг сливок, содержащих 22% жира. Сколько процентов жира содержит оставшееся молоко?
    Решение: Жир в исходном молоке: $0,04 \cdot 10 = 0,4$ кг. В сливках: $0,22 \cdot 1 = 0,22$ кг. Остаток жира: $0,4 - 0,22 = 0,18$ кг. Концентрация: $\frac{0,18}{9} = 0,02 = 2\%$.
    Ответ: $2\%$.

  15. Какие значения \underline{не может} принимать выражение $\frac{6x + 5}{2x - 5}$?
    Решение: Пусть $y = \frac{6x + 5}{2x - 5}$. Решая уравнение относительно $x$, получаем $y \neq 3$.
    Ответ: 3.

  16. В треугольнике $ABC$ угол $\angle A = 120^\circ$, серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $AC$ пересекают сторону $BC$ в точках $M$ и $N$. Найдите угол $\angle MAN$.
    Решение: Точки $M$ и $N$ — середины $BC$. $\angle MAN = 60^\circ$, так как треугольник $AMN$ равносторонний.
    Ответ: $60^\circ$.
Материалы школы Юайти