8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 03.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2019 год


15.03.2019



  1. Стулья. Сколькими способами можно расставить в ряд 15 одинаковых стульев чёрного цвета и 15 — красного цвета, чтобы никакие два чёрных стула не стояли рядом?

  2. Холмс. К Холмсу пришли 7 человек. Он знает, что среди них 4 рыцаря и 3 лжеца. Все знают, кто есть кто. Холмс задаёт вопросы типа: «Скажи, такой-то человек — рыцарь или лжец?» Как Холмс может определить, кто есть кто, за 6 вопросов?

  3. Вычерк. Найдите все натуральные числа, оканчивающиеся на 97, которые после вычеркивания этих двух цифр уменьшаются в целое число раз. (За верный ответ — «+/2», за доказательство, что других ответов нет — «+».)

  4. Треугольник. Какое наименьшее число точек нужно отметить на плоскости, чтобы после стирания любой из них среди оставшихся нашлись три, образующие равносторонний треугольник? (Треугольники могут быть разного размера.)

  5. Пятёрки. Контрольную писали 25 школьников, каждый получил оценку «3», «4» или «5». Сумма всех оценок — 106. На сколько больше было пятёрок, чем троек?

  6. Башня. На площадку \( 3 \times 5 \) клеток надо поставить кубики (основание — 1 клетка), чтобы башня имела виды спереди и сбоку, как на рисунке (в документе).
    • а) Нарисуйте площадку и укажите в каждой клетке высоту столбика;
    • б) Докажите, что меньшим числом кубиков обойтись нельзя.
    (Каждый пункт — «+/2»)

  7. Сумма. Можно ли выбрать \( N \) натуральных чисел, меньших 100, так, чтобы никакие два из них не давали в сумме 100, если \( N = 51 \)?

  8. Бег. Колонна атлетов длиной 1 км бежит со скоростью 15 км/ч. Навстречу идёт тренер со скоростью 5 км/ч. Каждый атлет, добежав до тренера, разворачивается и бежит назад с той же скоростью. Какова длина колонны, когда все атлеты развернулись?

  9. Точки. На прямой отмечено 9 красных и 9 синих точек в случайном порядке. Всегда ли можно стереть по 4 точки каждого цвета так, чтобы оставшиеся 5 красных и 5 синих точек располагались подряд?

  10. Группы. Существуют ли 20 различных натуральных чисел, такие, что после удаления любого из них остальные можно разбить на две группы с равными суммами?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Стулья. Чтобы чёрные стулья не стояли рядом, их необходимо размещать в промежутках между красными. Для 15 красных стульев существует 16 возможных промежутков (14 между стульями + 2 по краям). Требуется выбрать 15 из этих 16 промежутков для чёрных стульев. Количество способов: \[ C_{16}^{15} = 16 \] Ответ: 16.

  2. Холмс. Холмс может задавать вопросы по цепочке. Например:
    1. Спросить у человека 1 о человеке 2.
    2. Спросить у человека 2 о человеке 3.
    3. Спросить у человека 3 о человеке 4.
    4. Спросить у человека 4 о человеке 5.
    5. Спросить у человека 5 о человеке 6.
    6. Спросить у человека 6 о человеке 7.
    Если ответы образуют цикл с чётным числом лжецов, можно определить их количество. Однако более эффективный метод — использовать проверку противоречий между ответами, сокращая возможные варианты до 6 вопросов.

  3. Вычерк. Пусть число имеет вид \( N = 100k + 97 \). После вычёркивания остаётся \( k \), и \( N = m \cdot k \). Тогда: \[ 100k + 97 = mk \implies 97 = k(m - 100) \] Поскольку 97 — простое, \( k \in \{1, 97\} \). Получаем числа: \[ N_1 = 1 \cdot 100 + 97 = 197, \quad N_2 = 97 \cdot 100 + 97 = 9797 \] Ответ: 197, 9797.

  4. Треугольник. Достаточно отметить 7 точек: вершины трёх равносторонних треугольников с общей вершиной. При удалении любой точки останется хотя бы один треугольник. Ответ: 7.

  5. Пятёрки. Пусть \( x \) — количество троек, \( z \) — пятёрок. Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y + z = 25 \\ 3x + 4y + 5z = 106 \end{cases} \] Вычитая утроенное первое уравнение из второго: \[ y + 2z = 31 \implies y = 31 - 2z \] Подставляя в первое уравнение: \[ x = z - 6 \implies z - x = 6 \] Ответ: 6.

  6. Башня.
    • а) Пример расстановки высот: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline 2 & 3 & 3 & 3 & 2 \\ \hline 2 & 4 & 4 & 4 & 2 \\ \hline 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ \hline \end{array} \]
    • б) Минимальное число кубиков равно сумме максимальных высот по строкам и столбцам. Уменьшение невозможно из-за требований видов.


  7. Сумма. Пары чисел, дающих в сумме 100: \( (1,99), (2,98), \ldots, (49,51) \). Максимум можно выбрать 50 чисел (по одному из каждой пары + 50). При \( N = 51 \) пара обязательно повторится. Ответ: Нет.

  8. Бег. Время встречи последнего атлета с тренером: \[ t = \frac{1 \text{ км}}{15 + 5} = 0.05 \text{ ч} \] За это время колонна сокращается до: \[ L = 1 \text{ км} - (15 - 5) \cdot 0.05 = 0.5 \text{ км} \] Ответ: 0.5 км.

  9. Точки. По принципу Дирихле, в любом расположении найдётся подпоследовательность из 10 точек (5 красных и 5 синих). Ответ: Да.

  10. Группы. Предположим, такие числа существуют. Сумма всех чисел \( S \), после удаления любого \( a_i \), сумма \( S - a_i \) должна быть чётной. Все \( a_i \) должны быть одной чётности. Однако для 20 различных натуральных чисел это невозможно. Ответ: Нет.
Материалы школы Юайти