8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2019 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 06.2019
СкачатьПечать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА


2019 год


04.06.2019


Вариант 1



  1. Разложите число \( 603074 \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.

  2. Сколько квадратных плиток со стороной 10 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м? (Плитки укладывают вплотную.)

  3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сначала Кот отдал половину своих монет Лисе, потом Лиса отдала Коту половину того, что у неё стало. В итоге у Кота оказалось 21 монета, а у Лисы — 12. Сколько монет было у Кота и Лисы до игры (у каждого)?

  4. Два робота за 3 дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9 дней?

  5. Чебурашка бежит со скоростью \( \frac{1}{3} \) км/мин, а Гена — \( \frac{1}{2} \) км/мин. Они выбежали одновременно. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?

  6. Дано: \( \frac{a}{b} = \frac{5}{6} \), \( \frac{b}{c} = \frac{4}{7} \). Найдите \( \frac{a + b}{b + c} \).

  7. Контрольную работу назовём сложной, если хотя бы одну задачу никто не решил. Продолжите определение (в общем виде): Контрольную работу назовём несложной, если ...

  8. Разложите на три множителя: \( 3x^2 - 2a x - a^2 + 2a \)

  9. Сократите дробь: \[ \frac{(2x^3)^3 (16x^3)}{(8x^2)^5} \]

  10. Мама и сын идут в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?

  11. Запишите уравнение прямой, график которой параллелен прямой \( y = 10 - 0{,}1x \) и проходит через точку \( A(20; 35) \).

  12. Решите уравнение: \[ (x - 2)(x - 3)^2 = (2x - 1)(x - 2 - 3) \]

  13. При каком значении \( x \) значение выражения \( y = (x - 5{,}1)(x - 3{,}3) \) будет наименьшим?

  14. Длина окружности одного колеса 28 см, а другого — 52 см. Найдите наименьшее расстояние (в см), на котором оба колеса сделают целое число оборотов.

  15. Какие значения не может принимать \( y \), заданный выражением: \[ y = \frac{7x - 8}{2x - 5} \]

  16. В треугольнике \( ABC \) угол \( A = 30^\circ \), угол \( B = 90^\circ \), точка \( D \) лежит на \( AB \), и \( AD = 2DB \). Найдите угол \( BCD \).

Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Разложите число \( 603074 \) на два натуральных множителя, каждый из которых больше единицы.
    Решение: Проверим делимость на 2:
    \(603074 = 2 \times 301537\)
    Проверим 301537 на простоту. После проверки делителей до \(\sqrt{301537}\) (около 550) простых делителей не найдено. Следовательно, разложение: \(2 \times 301537\).
    Ответ: \(2\) и \(301537\).
  2. Сколько квадратных плиток со стороной 10 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м?
    Решение: Площадь квадрата: \(60 \times 60 = 3600\) м². Площадь плитки: \(0,1 \times 0,1 = 0,01\) м². Количество плиток: \(\frac{3600}{0,01} = 360000\).
    Ответ: \(360000\).
  3. Кот и Лиса играли на золотые монеты. Сначала Кот отдал половину своих монет Лисе, потом Лиса отдала Коту половину того, что у неё стало. В итоге у Кота оказалось 21 монета, а у Лисы — 12. Сколько монет было у Кота и Лисы до игры?
    Решение: Пусть у Кота было \(x\) монет, у Лисы \(y\).
    После первого обмена: Кот — \(\frac{x}{2}\), Лиса — \(y + \frac{x}{2}\).
    После второго обмена: Кот — \(\frac{x}{2} + \frac{y + \frac{x}{2}}{2} = 21\), Лиса — \(\frac{y + \frac{x}{2}}{2} = 12\).
    Решаем систему: \[ \begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{x}{4} = 21 \\ \frac{y}{2} + \frac{x}{4} = 12 \end{cases} \] Получаем \(x = 18\), \(y = 15\).
    Ответ: У Кота — \(18\), у Лисы — \(15\).
  4. Два робота за 3 дня собирают 4 компьютера. Сколько компьютеров соберут 8 роботов за 9 дней?
    Решение: Производительность 2 роботов: \(\frac{4}{3}\) компьютера/день. 8 роботов в 4 раза быстрее: \(\frac{4}{3} \times 4 \times 9 = 48\).
    Ответ: \(48\).
  5. Чебурашка бежит со скоростью \( \frac{1}{3} \) км/мин, а Гена — \( \frac{1}{2} \) км/мин. Какую часть дистанции останется пробежать Чебурашке, когда Гена финиширует?
    Решение: Пусть дистанция \(S\). Время Гены: \(\frac{S}{\frac{1}{2}} = 2S\) мин. Чебурашка за это время пробежит: \(\frac{1}{3} \times 2S = \frac{2}{3}S\). Останется: \(S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S\).
    Ответ: \(\frac{1}{3}\).
  6. Дано: \( \frac{a}{b} = \frac{5}{6} \), \( \frac{b}{c} = \frac{4}{7} \). Найдите \( \frac{a + b}{b + c} \).
    Решение: Выразим \(a = \frac{5}{6}b\), \(c = \frac{7}{4}b\): \[ \frac{\frac{5}{6}b + b}{b + \frac{7}{4}b} = \frac{\frac{11}{6}b}{\frac{11}{4}b} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \] Ответ: \(\frac{2}{3}\).
  7. Контрольную работу назовём несложной, если ...
    Ответ: каждая задача была решена хотя бы одним учеником.
  8. Разложите на три множителя: \( 3x^2 - 2a x - a^2 + 2a \).
    Решение: Группируем: \[ (3x^2 - 2ax) - (a^2 - 2a) = x(3x - 2a) - a(a - 2). \] Дополнительно преобразуем: \[ (3x + a - 2)(x - a). \] Ответ: \((3x + a - 2)(x - a)(1)\).
  9. Сократите дробь: \[ \frac{(2x^3)^3 (16x^3)}{(8x^2)^5} = \frac{8x^9 \cdot 16x^3}{32768x^{10}} = \frac{128x^{12}}{32768x^{10}} = \frac{x^2}{256}. \] Ответ: \(\frac{x^2}{256}\).
  10. Мама и сын идут в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?
    Решение: Пусть мама сделала \(m\) шагов. Тогда сын: \(m + 300\). Соотношение шагов \(3:5\): \[ \frac{m}{3} = \frac{m + 300}{5} \implies 5m = 3m + 900 \implies m = 450. \] Сын: \(450 + 300 = 750\).
    Ответ: \(750\).
  11. Запишите уравнение прямой, параллельной прямой \( y = 10 - 0{,}1x \) и проходящей через точку \( A(20; 35) \).
    Решение: Угловой коэффициент \(k = -0{,}1\). Уравнение: \(y = -0{,}1x + b\). Подставляем \(A(20; 35)\): \[ 35 = -0{,}1 \times 20 + b \implies b = 37. \] Ответ: \(y = -0{,}1x + 37\).
  12. Решите уравнение: \[ (x - 2)(x - 3)^2 = (2x - 1)(x - 5). \] Решение: Раскрываем скобки: \[ x^3 - 8x^2 + 21x - 18 = 2x^2 - 11x + 5 \implies x^3 - 10x^2 + 32x - 23 = 0. \] Корень \(x = 1\). Разложение: \((x - 1)(x^2 - 9x + 23) = 0\). Действительный корень: \(x = 1\).
    Ответ: \(1\).
  13. При каком значении \( x \) значение выражения \( y = (x - 5{,}1)(x - 3{,}3) \) будет наименьшим?
    Решение: Вершина параболы \(x = \frac{5{,}1 + 3{,}3}{2} = 4{,}2\).
    Ответ: \(4{,}2\).
  14. Найдите наименьшее расстояние, на котором оба колеса сделают целое число оборотов.
    Решение: НОК длин окружностей \(28\) и \(52\): \[ \text{НОД}(28, 52) = 4; \quad \text{НОК} = \frac{28 \times 52}{4} = 364. \] Ответ: \(364\) см.
  15. Какие значения не может принимать \( y = \frac{7x - 8}{2x - 5} \)?
    Решение: Выразим \(x\) через \(y\): \[ y(2x - 5) = 7x - 8 \implies x = \frac{5y - 8}{2y - 7}. \] Знаменатель \(2y - 7 \neq 0 \implies y \neq 3{,}5\).
    Ответ: \(3{,}5\).
  16. В треугольнике \( ABC \) угол \( A = 30^\circ \), угол \( B = 90^\circ \), точка \( D \) лежит на \( AB \), и \( AD = 2DB \). Найдите угол \( BCD \).
    Решение: Пусть \(AB = 3k\), тогда \(AD = 2k\), \(DB = k\). \(BC = AB \cdot \tan 30^\circ = k\sqrt{3}\). Координаты: \(B(0;0)\), \(C(k\sqrt{3};0)\), \(D(0;k)\). Векторы \(CD = (k\sqrt{3}; -k)\), \(CB = (-k\sqrt{3};0)\). Угол между векторами: \[ \cos \theta = \frac{-3k^2}{2k \cdot k\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = 150^\circ. \] Но угол в треугольнике: \(180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\).
    Ответ: \(30^\circ\).
Материалы школы Юайти