Лицей «Вторая школа» из 7 в 8 класс 2017 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2017 год
Вариант 1.1
Решения задач записывайте в любом порядке на выданных листах, ставьте номера задач. Пишите ответ сразу, как только решили задачу. Решайте сначала те задачи, которые для Вас проще.
- Стeпeни. Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
- Делители. Найдите наименьшее число, которое делится на 120,180 и $48 .$
- Плотность. Плотность вещества $1000 \mathrm{\kappa r} / \mathrm{m}^{3}$. Сколько это $\mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ ?
- Пропорции. Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
- Уравнение 1. Решите уравнение: $\frac{x+1}{3}-\frac{x+2}{2}=1$.
- Уравнение 2. Решите уравнение: $(1-3 x)(x+1)=(3 x-1)(2 x+1)$.
- Разложение 1. Разложите на множители: $a b-2 b c-4 c d+2 d a$.
- Разложение 2. Разложите на множители: $x^{2}+y^{2}-1-2 x y .$
- Замена. Известно, что $\frac{a}{b}=\frac{2}{3} ; \frac{b}{c}=\frac{5}{7}$. Найдите $\frac{a}{c}$.
- Ось. На числовой оси найдите середину отрезка $[-122 ; 198]$.
- Отноiение. Верёвку длиной 30 см поделили в отношении $5: 7$ (длины частей относятся как 5 к 7 ). Найдите длину меньшей части.
- Система. Найдите точные координаты точки пересечения графиков у $=1,5 \mathrm{x}-2$ и $\mathrm{y}=1-0,5 \mathrm{x}$.
- Периметр. Квадрат со стороной 5 разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них $16 .$ Найдите периметр второго.
- Краска. На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на окраску квадратного пола со стороной 6 м?
- Среднее. Вовочка получил единицу. Сколько пятерок подряд надо ему получить, чтобы его средний бал стал равен 4,5 ?
- Скорость. Стог сена корова съедает за 6 дней, а коза - за 12 дней. За сколько дней они съедят стог сена вместе?
- Сnлав. Сплав массой 600 г содержит $10 \%$ меди. Сколько меди нужно добавить к этому количеству сплава, чтобы в новом сплаве содержалось $20 \%$ меди?
- Уzол. ВМ - медиана в треугольнике АВС, МD - биссектриса угла АМВ, МЕ - биссектриса угла ВМС. Найдите угол DME.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Вычислите значение выражения: $\frac{3^{7} \cdot 15^{5} \cdot 4^{9}}{8^{4} \cdot 9^{4} \cdot 30^{4}}$.
Решение: Разложим числа на простые множители:
$3^7 \cdot (3 \cdot 5)^5 \cdot (2^2)^9 = 3^{12} \cdot 5^5 \cdot 2^{18}$ (числитель)
$(2^3)^4 \cdot (3^2)^4 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5)^4 = 2^{16} \cdot 3^{12} \cdot 5^4$ (знаменатель)
Сокращаем общие множители:
$\frac{2^{18} \cdot 5^5}{2^{16} \cdot 5^4} = 2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 4. (Примечание: В оригинальном ответе указано 4, возможно, опечатка в условии.) - Найдите наименьшее число, которое делится на 120, 180 и 48.
Решение: НОК чисел:
$120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$, $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $48 = 2^4 \cdot 3$
НОК = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$.
Ответ: 720. (Примечание: В оригинальном ответе указано 729, возможно, опечатка.) - Плотность вещества $1000 \ \text{кг/м}^3$. Сколько это $\text{г/см}^3$?
Решение:
$1 \ \text{кг} = 1000 \ \text{г}$, $1 \ \text{м}^3 = 10^6 \ \text{см}^3$
$\frac{1000 \cdot 1000}{10^6} = 1 \ \text{г/см}^3$.
Ответ: 1. - Бригада из 5 садовников за 3 часа посадила 30 деревьев. Сколько деревьев посадят 4 садовника за 4 часа?
Решение: Производительность одного садовника:
$\frac{30}{5 \cdot 3} = 2$ дерева/час.
$4 \cdot 4 \cdot 2 = 32$ дерева.
Ответ: 32. - Решите уравнение: $\frac{x+1}{3} - \frac{x+2}{2} = 1$.
Решение:
Умножаем на 6: $2(x+1) - 3(x+2) = 6$
$-x - 4 = 6 \Rightarrow x = -10$.
Ответ: $-10$. - Решите уравнение: $(1-3x)(x+1) = (3x-1)(2x+1)$.
Решение:
Переносим все влево: $(1-3x)(x+1) + (1-3x)(2x+1) = 0$
$(1-3x)(3x+2) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}$ или $x = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}; -\frac{2}{3}$. - Разложите на множители: $ab - 2bc - 4cd + 2da$.
Решение:
Группировка: $(ab + 2da) - (2bc + 4cd) = a(b + 2d) - 2c(b + 2d) = (a - 2c)(b + 2d)$.
Ответ: $(a - 2c)(b + 2d)$. - Разложите на множители: $x^2 + y^2 - 1 - 2xy$.
Решение:
$(x - y)^2 - 1 = (x - y - 1)(x - y + 1)$.
Ответ: $(x - y - 1)(x - y + 1)$. - Найдите $\frac{a}{c}$, если $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ и $\frac{b}{c} = \frac{5}{7}$.
Решение:
$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{10}{21}$.
Ответ: $\frac{10}{21}$. - Найдите середину отрезка $[-122; 198]$.
Решение:
$\frac{-122 + 198}{2} = 38$.
Ответ: 38. - Верёвку длиной 30 см поделили в отношении $5:7$. Найдите длину меньшей части.
Решение:
Меньшая часть: $\frac{5}{12} \cdot 30 = 12,5$ см.
Ответ: 12,5. - Найдите точные координаты точки пересечения графиков $y = 1,5x - 2$ и $y = 1 - 0,5x$.
Решение:
$1,5x - 2 = 1 - 0,5x \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$
$y = 1,5 \cdot 1,5 - 2 = 0,25$.
Ответ: $(1,5; 0,25)$. - Квадрат со стороной 5 разрезали на 2 прямоугольника. Периметр одного из них 16. Найдите периметр второго.
Решение:
Стороны первого прямоугольника: $5$ и $3$ (периметр $2(5+3) = 16$).
Второй прямоугольник: $5$ и $2$, периметр $2(5+2) = 14$.
Ответ: 14. - На окраску квадратного пола со стороной 3 м пошло 1,2 кг краски. Сколько краски пойдет на пол со стороной 6 м?
Решение:
Площадь увеличивается в $4$ раза: $1,2 \cdot 4 = 4,8$ кг.
Ответ: 4,8. - Вовочка получил единицу. Сколько пятерок подряд надо получить, чтобы средний балл стал 4,5?
Решение:
Пусть $n$ пятерок: $\frac{1 + 5n}{n + 1} = 4,5 \Rightarrow n = 7$.
Ответ: 7. - Стог сена корова съедает за 6 дней, коза — за 12 дней. За сколько дней они съедят стог вместе?
Решение:
Совместная скорость: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4} \Rightarrow 4$ дня.
Ответ: 4. - Сплав массой 600 г содержит $10\%$ меди. Сколько меди добавить, чтобы содержание меди стало $20\%$?
Решение:
Меди в сплаве: $60$ г. Пусть добавили $x$ г:
$\frac{60 + x}{600 + x} = 0,2 \Rightarrow x = 75$ г.
Ответ: 75. - В треугольнике $ABC$ $BM$ — медиана, $MD$ и $ME$ — биссектрисы углов $AMB$ и $BMC$. Найдите угол $DME$.
Решение:
Сумма смежных углов $AMB$ и $BMC$ равна $180^\circ$. Биссектрисы делят их пополам, угол между ними $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.
Материалы школы Юайти