Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $40\%$ и один раз на $20\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
   1. при $a=-\frac{2}{7} ;$
   2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$.
4. Решите уравнения:
   1. $|x-1|=2 x+1$;
   2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$.
5. Решите неравенства:
   1. $\frac{2 x^{3}+3 x^{2}}{x-2} \geq 0$;
   2. $\frac{|3 x+2|}{x}<-1$.
6. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке Р, длина отрезка РВ равна 4. Найдите
   1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$;
   2. площадь треугольника ABP;
   3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP.
7. 1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+a-1=0$ имеет два различных корня?
   2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+a-1}{x+5}=0$ имеет единственное решение?

Решения задач

1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на 40% и один раз на 20\%. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
   Решение: Первое снижение на 40\%: $1000 \cdot 0,6 = 600$ руб.
   Второе снижение на 40\%: $600 \cdot 0,6 = 360$ руб.
   Третье снижение на 20\%: $360 \cdot 0,8 = 288$ руб.
   Ответ: 288 рублей.
2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
   Решение: Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} - \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{-2\sqrt{5}}{9 - 5} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \] Упростим вторую часть: \[ \sqrt{5} + \sqrt{45} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] Перемножим результаты: \[ -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4\sqrt{5} = -\frac{4 \cdot 5}{2} = -10 \] Ответ: $-10$.
3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
   1. при $a=-\frac{2}{7}$;
      Решение: Упростим выражение: \[ \sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(a-6)^2} = |a-2| + |a-6| \] При $a = -\frac{2}{7}$: \[ \left|-\frac{2}{7} - 2\right| + \left|-\frac{2}{7} - 6\right| = \left|-\frac{16}{7}\right| + \left|-\frac{44}{7}\right| = \frac{16}{7} + \frac{44}{7} = \frac{60}{7} \] Ответ: $\frac{60}{7}$.
   2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$.
      Решение: Поскольку $\sqrt{3+\sqrt{2}} \approx 2,1$, то: \[ |\sqrt{3+\sqrt{2}} - 2| + |\sqrt{3+\sqrt{2}} - 6| = (\sqrt{3+\sqrt{2}} - 2) + (6 - \sqrt{3+\sqrt{2}}) = 4 \] Ответ: 4.
4. Решите уравнения:
   1. $|x-1|=2 x+1$;
      Решение: Рассмотрим два случая:
      • $x \geq 1$: $x - 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = -2$ (не подходит).
      • $x < 1$: $-(x - 1) = 2x + 1 \Rightarrow -x + 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = 0$.
      Ответ: $x = 0$.
   2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$.
      Решение: Умножим обе части на $(x+1)(x^2 - x + 1)$: \[ 6x(x^2 - x + 1) = 12x(x+1) - (12x^2 - 6x)(x+1) \] После упрощения: \[ 6x^3 - 6x^2 + 6x = 12x^2 + 12x - 12x^3 + 6x^2 - 12x^2 + 6x \] Сократив подобные: \[ 18x^3 - 12x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 6x(3x^2 - 2x - 2) = 0 \] Корни: $x = 0$, $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.
      Ответ: $x = 0$, $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.
5. Задача.
   
   Решите неравенства:
   (a) \(\dfrac{2x^3+3x^2}{x-2} \ge 0\);
   (b) \(\dfrac{|3x+2|}{x} < -1.\)
   
   Идея решения.
   
   В пункте (a) разложим числитель на множители и исследуем знак дроби по промежуткам.
   В пункте (b) сначала поймём, при каких \(x\) дробь может быть меньше \(-1\), а затем аккуратно раскроем модуль, не умножая обе части на \(x\).
   
   Решение для (a).
   
   1. Разложим числитель:
   \[ 2x^3+3x^2 = x^2(2x+3). \]
   Тогда неравенство принимает вид
   \[ \frac{x^2(2x+3)}{x-2} \ge 0. \]
   
   2. Найдём нули числителя и знаменателя:
   \(x^2=0 \Rightarrow x=0\) (два раза), \(2x+3=0 \Rightarrow x=-\dfrac{3}{2}\);
   знаменатель равен нулю при \(x=2\), эта точка не входит в область допустимых значений.
   
   3. Отмечаем точки \(-\dfrac{3}{2}, 0, 2\) на числовой прямой и проверяем знак дроби на промежутках.
   
   Для \(x<- \dfrac{3}{2}\) (например, \(x=-2\)) дробь положительна.
   Для \(-\dfrac{3}{2}<x<0\) (например, \(x=-1\)) дробь отрицательна.
   Для \(0<x<2\) (например, \(x=1\)) дробь отрицательна.
   Для \(x>2\) (например, \(x=3\)) дробь положительна.
   
   В точках \(x=-\dfrac{3}{2}\) и \(x=0\) числитель равен нулю и дробь равна нулю, что подходит, так как стоит знак \(\ge 0\).
   Точка \(x=2\) исключается.
   
   4. Ответ для (a):
   \[ x \in (-\infty;\,-\tfrac{3}{2}] \cup \{0\} \cup (2;\,+\infty). \]
   
   Решение для (b).
   
   1. Числитель \(|3x+2|\) неотрицателен.
   Чтобы \(\dfrac{|3x+2|}{x} < -1\), дробь должна быть отрицательной, значит, знаменатель отрицателен: \(x<0\).
   
   2. Введём замену \(x=-y\), где \(y>0\). Тогда
   \[ \frac{|3x+2|}{x} = \frac{|3(-y)+2|}{-y} = \frac{|2-3y|}{-y}. \]
   Неравенство становится
   \[ \frac{|2-3y|}{-y} < -1. \]
   Умножаем обе части на \(-1\) и меняем знак:
   \[ \frac{|2-3y|}{y} > 1, \quad y>0. \]
   Так как знаменатель положителен, это эквивалентно неравенству
   \[ |2-3y| > y. \]
   
   3. Найдём точку, где меняется знак под модулем: \(2-3y=0 \Rightarrow y=\dfrac{2}{3}\).
   Рассмотрим два случая.
   
   Случай 1: \(y \le \dfrac{2}{3}\). Тогда \(|2-3y| = 2-3y\) и
   \[ 2-3y > y \Rightarrow 2 > 4y \Rightarrow y < \frac{1}{2}. \]
   С учётом \(y>0\) имеем \(0<y<\dfrac{1}{2}\).
   Так как \(x=-y\), получаем \(-\dfrac{1}{2}<x<0\).
   
   Случай 2: \(y > \dfrac{2}{3}\). Тогда \(|2-3y| = 3y-2\) и
   \[ 3y-2 > y \Rightarrow 2y>2 \Rightarrow y>1. \]
   Отсюда \(x=-y<-1\).
   
   4. Ответ для (b):
   \[ x \in (-\infty,\,-1)\ \cup\ \left(-\frac{1}{2},\,0\right). \]
   
6. Задача.
   
   В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с катетами \(AC\) и \(BC\) угол \(C\) прямой, угол \(A\) равен \(60^\circ\). Биссектриса угла \(A\) пересекает катет \(BC\) в точке \(P\), при этом \(PB=4\). Найдите:
   (a) площадь треугольника \(ABC\);
   (b) площадь треугольника \(ABP\);
   (c) радиус окружности, описанной вокруг треугольника \(ABP\).
   
   Идея решения.
   
   Используем свойства треугольника с углами \(30^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) и теорему о биссектрисе: биссектриса делит противолежащую сторону в отношении прилежащих сторон. Найдём стороны треугольника, затем площади и радиус описанной окружности.
   
   Решение.
   
   1. Углы треугольника: \(C=90^\circ\), \(A=60^\circ\), значит \(B=30^\circ\).
   Пусть гипотенуза \(AB=2k\). Тогда в треугольнике \(30^\circ-60^\circ-90^\circ\) имеем
   \[ AC = k,\quad BC = k\sqrt{3}. \]
   
   2. По теореме о биссектрисе:
   \[ \frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = \frac{2k}{k} = 2. \]
   Пусть \(BP=2x\), тогда \(PC=x\), а весь катет \(BC=3x\).
   По условию \(BP=4\), значит \(2x=4 \Rightarrow x=2\) и
   \[ BC = 3x = 6. \]
   
   С другой стороны \(BC = k\sqrt{3}\), поэтому
   \[ k\sqrt{3}=6 \Rightarrow k = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}. \]
   Теперь получаем стороны:
   \[ AC = k = 2\sqrt{3},\quad AB = 2k = 4\sqrt{3},\quad BC = 6. \]
   
   3. Площадь треугольника \(ABC\) (катеты \(AC\) и \(BC\)):
   \[ S_{ABC} = \frac{1}{2}\cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot 6 = 6\sqrt{3}. \]
   
   4. Площадь треугольника \(ABP\).
   Используем формулу через две стороны и угол между ними.
   В треугольнике \(ABP\): \(AB=4\sqrt{3}\), \(BP=4\), угол при \(B\) равен \(30^\circ\). Тогда
   \[ S_{ABP} = \frac{1}{2}\cdot AB \cdot BP \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{3}\cdot 4\cdot \frac{1}{2} = 4\sqrt{3}. \]
   
   5. Радиус окружности, описанной около треугольника \(ABP\).
   Угол при \(A\) в треугольнике \(ABP\) равен половине \(60^\circ\), то есть \(30^\circ\).
   Угол при \(B\) также \(30^\circ\).
   Тогда угол при \(P\):
   \[ 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ. \]
   Сторона \(AB\) лежит напротив угла \(120^\circ\). Формула радиуса описанной окружности:
   \[ R = \frac{\text{сторона напротив угла}}{2\sin(\text{этот угол})}. \]
   Подставляем:
   \[ R = \frac{AB}{2\sin 120^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4. \]
   
   Ответ.
   
   (a) \(S_{ABC} = 6\sqrt{3}\);
   (b) \(S_{ABP} = 4\sqrt{3}\);
   (c) \(R = 4\).
   
7. Задача.
   
   (a) При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^2 - ax + a - 1 = 0\) имеет два различных корня?
   (b) При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(\dfrac{x^2-ax+a-1}{x+5}=0\) имеет единственное решение?
   
   Идея решения.
   
   В пункте (a) применим условие \(D>0\) для квадратного уравнения.
   В пункте (b) заметим, что дробь равна нулю, когда числитель ноль и знаменатель не ноль, поэтому изучим корни квадратного уравнения с учётом запрета \(x\neq -5\).
   
   Решение для (a).
   
   1. Для квадратного уравнения \(x^2-ax+a-1=0\) дискриминант:
   \[ D = (-a)^2 - 4\cdot1\cdot(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2. \]
   
   2. Два различных корня существуют, когда \(D>0\):
   \[ (a-2)^2>0. \]
   Квадрат числа больше нуля при всех значениях, кроме случая, когда число равно нулю. Значит
   \[ a-2\neq 0 \Rightarrow a\neq 2. \]
   
   Ответ для (a).
   
   Уравнение имеет два различных корня при всех действительных \(a\), кроме \(a=2\).
   
   Решение для (b).
   
   1. Уравнение
   \[ \frac{x^2-ax+a-1}{x+5}=0 \] эквивалентно системе
   \[ x^2-ax+a-1=0,\quad x\neq -5. \]
   Нужно, чтобы среди корней квадратного уравнения после исключения \(x=-5\) остался ровно один допустимый корень.
   
   2. Возможны два случая:
   (1) у квадратного уравнения два различных корня, и один из них равен \(-5\);
   (2) у квадратного уравнения один двойной корень, причём этот корень не равен \(-5\).
   
   3. Случай (1). Требуем, чтобы \(-5\) был корнем числителя:
   \[ (-5)^2 - a(-5) + a - 1 = 0 \Rightarrow 25 + 5a + a - 1 = 0 \Rightarrow 24 + 6a = 0 \Rightarrow a = -4. \]
   При \(a=-4\) дискриминант \((a-2)^2 = (-4-2)^2 = 36>0\), то есть два различных корня, один из них \(-5\). Значит, второй корень и даёт единственное решение исходного уравнения, так что \(a=-4\) подходит.
   
   4. Случай (2). Требуем \(D=0\):
   \[ (a-2)^2=0 \Rightarrow a=2. \]
   Тогда уравнение
   \[ x^2-2x+1=0 \Rightarrow (x-1)^2=0, \] имеет единственный корень \(x=1\), который не равен \(-5\), значит, \(a=2\) тоже подходит.
   
   5. Для всех остальных значений \(a\) дискриминант положителен и \(-5\) не является корнем, поэтому у выражения будет два различных допустимых решения. Нам этот случай не подходит.
   
   Ответ для (b).
   
   Уравнение \(\dfrac{x^2-ax+a-1}{x+5}=0\) имеет единственное решение при
   \[ a=-4 \quad \text{или} \quad a=2. \]