8 800 707 6729
8 800 707 6729Telegram канал

Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2025 год вариант 1

Школа:
Сложность:
Дата экзамена: 2025
Печать
youit.school ©

ЛИЦЕЙ Вторая школа

2025



  1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $40\%$ и один раз на $20\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
  2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
  3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
    1. при $a=-\frac{2}{7} ;$
    2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$.
  4. Решите уравнения:
    1. $|x-1|=2 x+1$;
    2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$.
  5. Решите неравенства:
    1. $\frac{2 x^{3}+3 x^{2}}{x-2} \geq 0$;
    2. $\frac{|3 x+2|}{x}<-1$.
  6. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке Р, длина отрезка РВ равна 4. Найдите
    1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$;
    2. площадь треугольника ABP;
    3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP.
    1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+a-1=0$ имеет два различных корня?
    2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+a-1}{x+5}=0$ имеет единственное решение?
Материалы школы Юайти
youit.school ©

Решения задач



  1. Некоторый товар стоил 1000 рублей, но не пользовался спросом. Поэтому его цена дважды снижалась на $40\%$ и один раз на $20\%$. Сколько стал стоить этот товар после последнего снижения цены?
    Решение: Первое снижение на $40\%$: $1000 \cdot 0,6 = 600$ руб.
    Второе снижение на $40\%$: $600 \cdot 0,6 = 360$ руб.
    Третье снижение на $20\%$: $360 \cdot 0,8 = 288$ руб.
    Ответ: 288 рублей.
  2. Вычислите: $\left(\frac{1}{3+\sqrt{5}}-\frac{1}{3-\sqrt{5}}\right) \cdot(\sqrt{5}+\sqrt{45})$.
    Решение: Упростим выражение в скобках: \[ \frac{1}{3+\sqrt{5}} - \frac{1}{3-\sqrt{5}} = \frac{(3-\sqrt{5}) - (3+\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \frac{-2\sqrt{5}}{9 - 5} = -\frac{\sqrt{5}}{2} \] Упростим вторую часть: \[ \sqrt{5} + \sqrt{45} = \sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 4\sqrt{5} \] Перемножим результаты: \[ -\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 4\sqrt{5} = -\frac{4 \cdot 5}{2} = -10 \] Ответ: $-10$.
  3. Упростите выражение $\sqrt{a^{2}-4 a+4}+\sqrt{a^{2}-12 a+36}$ и найдите его значение
    1. при $a=-\frac{2}{7}$;
      Решение: Упростим выражение: \[ \sqrt{(a-2)^2} + \sqrt{(a-6)^2} = |a-2| + |a-6| \] При $a = -\frac{2}{7}$: \[ \left|-\frac{2}{7} - 2\right| + \left|-\frac{2}{7} - 6\right| = \left|-\frac{16}{7}\right| + \left|-\frac{44}{7}\right| = \frac{16}{7} + \frac{44}{7} = \frac{60}{7} \] Ответ: $\frac{60}{7}$.
    2. при $a=\sqrt{3+\sqrt{2}}$.
      Решение: Поскольку $\sqrt{3+\sqrt{2}} \approx 2,1$, то: \[ |\sqrt{3+\sqrt{2}} - 2| + |\sqrt{3+\sqrt{2}} - 6| = (\sqrt{3+\sqrt{2}} - 2) + (6 - \sqrt{3+\sqrt{2}}) = 4 \] Ответ: 4.
  4. Решите уравнения:
    1. $|x-1|=2 x+1$;
      Решение: Рассмотрим два случая:
      • $x \geq 1$: $x - 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = -2$ (не подходит).
      • $x < 1$: $-(x - 1) = 2x + 1 \Rightarrow -x + 1 = 2x + 1 \Rightarrow x = 0$.
      Ответ: $x = 0$.
    2. $\frac{6 x}{x+1}=\frac{12 x}{x^{2}-x+1}-\frac{12 x^{2}-6 x}{x^{3}+1}$.
      Решение: Умножим обе части на $(x+1)(x^2 - x + 1)$: \[ 6x(x^2 - x + 1) = 12x(x+1) - (12x^2 - 6x)(x+1) \] После упрощения: \[ 6x^3 - 6x^2 + 6x = 12x^2 + 12x - 12x^3 + 6x^2 - 12x^2 + 6x \] Сократив подобные: \[ 18x^3 - 12x^2 - 12x = 0 \Rightarrow 6x(3x^2 - 2x - 2) = 0 \] Корни: $x = 0$, $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.
      Ответ: $x = 0$, $x = \frac{1 \pm \sqrt{7}}{3}$.
  5. Решите неравенства:
    1. $\frac{2 x^{3}+3 x^{2}}{x-2} \geq 0$;
      Решение: Разложим числитель: $x^2(2x + 3)$.
      Метод интервалов: корни числителя $x = 0$ (кратность 2), $x = -1,5$; знаменателя $x = 2$.
      Ответ: $x \in [-1,5; 0] \cup (2; +\infty)$.
    2. $\frac{|3 x+2|}{x}<-1$.
      Решение: Левая часть неотрицательна, правая отрицательна. Решений нет.
      Ответ: Нет решений.
  6. В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС и ВС угол А равен $60^{\circ} .$ Биссектриса угла А пересекает катет ВС в точке Р, длина отрезка РВ равна 4. Найдите
    1. площадь треугольника $\mathrm{ABC}$;
      Решение: По свойству биссектрисы: $\frac{BP}{PC} = \frac{AB}{AC} = 2$. При $BP = 4$, $BC = 6$.
      $AC = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$. Площадь: $\frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 6 = 6\sqrt{3}$.
      Ответ: $6\sqrt{3}$.
    2. площадь треугольника ABP;
      Решение: Отношение площадей $\frac{BP}{BC} = \frac{2}{3}$. Площадь ABP: $\frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.
      Ответ: $4\sqrt{3}$.
    3. радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABP.
      Решение: Используем формулу $R = \frac{abc}{4S}$. Стороны: $AB = 4\sqrt{3}$, $AP = \frac{4\sqrt{21}}{3}$, $BP = 4$.
      $R = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \frac{4\sqrt{21}}{3}}{4 \cdot 4\sqrt{3}} = \sqrt{7}$.
      Ответ: $\sqrt{7}$.
    1. При каких значениях параметра $a$ уравнение $x^{2}-a x+a-1=0$ имеет два различных корня?
      Решение: Дискриминант: $D = (a - 2)^2 > 0 \Rightarrow a \neq 2$.
      Ответ: $a \neq 2$.
    2. При каких значениях параметра а уравнение $\frac{x^{2}-a x+a-1}{x+5}=0$ имеет единственное решение?
      Решение: Корни числителя $x = 1$ и $x = a - 1$. Единственное решение при $a - 1 = -5$ ($a = -4$) или $a = 2$.
      Ответ: $a = -4$, $a = 2$.
Материалы школы Юайти