Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2024 год

17.03.2024

1. Скорость. Торнадо мчится со скоростью 25 м/с. Сколько это километров в час?
2. Проценты. За 2021 год производство деталей на заводе увеличилось на 25% по сравнению с 2020 годом. За 2022 год произвели столько же деталей, сколько в 2020 году. На сколько процентов упало производство деталей в 2022 году по отношению к 2021 году?
3. Поезда. Два поезда идут в одну сторону. Длина одного 320 м и его скорость 12 м/с, длина другого — 340 м и его скорость 10 м/с. Сколько секунд пройдёт от момента, когда «голова» более быстрого поезда (хвост медленного) поравняется с хвостом медленного, до момента, когда «хвост» более быстрого поезда поравняется с «головой» медленного поезда?
4. Торт. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. У кого у Пятачка количество торта оказалось больше, чем у Пуха, и на сколько?
5. Среднее. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?
6. Делимость. Про целое число $x$ известно, что $x + 2y$ делится на 7. Всегда ли сумма $x + y$ тоже делится на 7? (Ответ запишите только, если написали объяснение.)
7. Карточки. На пяти карточках написаны числа 1, 4, 6, 7, 9. Мама сообщила Пете и Оле, какие числа на карточках, и выдала каждому по две карточки из набора. Изучив свои карточки, Петя сказал Оле: «Я знаю, что на твоих карточках сумма чисел чётна!» — и был прав. Какие карточки получил Петя? (Петя не видел карточек, которые достались Оле, и какая карточка лишняя?)
8. Уравнение. Решите уравнение: \[ \frac{x - 1.5}{3} = \frac{-0.5}{2} = 1.62 \]
9. Муравьи. В лабораторном муравейнике все муравьи рождаются и умирают только 1 мая. Каждый год 100 муравьёв рождается и 100 умирает. Каждый муравей живёт ровно 3 года. Сколько муравьёв в этом муравейнике? Муравейник существует много лет.
10. Эскалатор. На видимой части эскалатора 210 ступенек. Вася ходит вниз по эскалатору со скоростью 4 ступеньки в секунду, наступая на каждую ступеньку, а эскалатор идёт со скоростью 3 ступеньки в секунду. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору и считал, на сколько ступенек он наступил. Сколько ступенек насчитал Вася, когда дошёл до конца эскалатора?
11. Цветок. В семи кружках расставлены различные числа так, что сумма чисел в любых трёх кружках, лежащих на одной прямой, одинакова и равна 546. Сумма всех семи чисел равна 546, а в центре стоит число 78. Чему равно $n$?
    
12. Шарики. В коробке 10 красных, 12 синих и 15 зелёных шариков. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить не глядя, чтобы среди вынутых шариков обязательно нашлось 3 красных шарика, 4 синих и 5 зелёных?
13. Забор. Участок 30 м × 300 м огорожен забором. Сколько метров забора надо ещё докупить, чтобы поделить участок на квадраты 10 × 10 м? Толщиной забора пренебречь.
14. Отметки. В параллели 12 классов по 30 учеников. За контрольную работу девятая часть учеников получила «отлично», треть — тройки, половина — четвёрки. Остальные получили «удовлетворительно». Сколько учеников получили «удовлетворительно»?
15. По кругу. По кругу записаны 8 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в некотором порядке. Любые три соседние цифры дают в сумме нечётное число. Какой цифрой, если смотреть первая цифра слева — сверху по часовой стрелке, начинается запись? Ответ поясните, почему ответ не зависит от порядка записи.
16. Поезд. Из пункта А в пункт Б вышел Андрей, а из пункта Б в А вышел Борис по той же дороге. В 11:00 расстояние между ними было 8 км. Скорость Андрея 4 км/ч, скорость Бориса 5 км/ч. На сколько ближе друг к другу они стали в 11:20? Смогли бы они встретиться между 11:00 и 12:00?

Решения задач

1. Скорость. Торнадо мчится со скоростью 25 м/с. Сколько это километров в час?
   Решение:
   $25 \, \text{м/с} = 25 \times 3{,}6 \, \text{км/ч} = 90 \, \text{км/ч}$.
   Ответ: 90 км/ч.
2. Проценты. За 2021 год производство деталей на заводе увеличилось на $25\%$ по сравнению с 2020 годом. За 2022 год произвели столько же деталей, сколько в 2020 году. На сколько процентов упало производство деталей в 2022 году по отношению к 2021 году?
   Решение:
   Пусть в 2020 году произвели $100$ единиц. Тогда в 2021 году — $125$ единиц. В 2022 году — снова $100$ единиц. Разница: $125 - 100 = 25$.
   $\frac{25}{125} \times 100% = 20\%$.
   Ответ: на $20\%$.
3. Поезда. Два поезда идут в одну сторону. Длина одного 320 м и его скорость 12 м/с, длина другого — 340 м и его скорость 10 м/с. Сколько секунд пройдёт от момента, когда «голова» более быстрого поезда поравняется с хвостом медленного, до момента, когда «хвост» более быстрого поезда поравняется с «головой» медленного поезда?
   Решение:
   Относительная скорость: $12 - 10 = 2 \, \text{м/с}$. Общая длина: $320 + 340 = 660 \, \text{м}$.
   Время: $\frac{660}{2} = 330 \, \text{с}$.
   Ответ: 330 секунд.
4. Торт. Винни-Пух и Пятачок поделили между собой торт. Пятачок захныкал, что ему досталось мало. Тогда Пух отдал ему треть своей доли. У кого у Пятачка количество торта оказалось больше, чем у Пуха, и на сколько?
   Решение:
   Пусть Пятачок получил $x$ часть торта, Пух — $1 - x$. После передачи:
   Пятачок: $x + \frac{1 - x}{3} = \frac{2x + 1}{3}$.
   Пух: $\frac{2(1 - x)}{3}$.
   Если изначально $x \frac{2(1 - x)}{3}$. Например, при $x = \frac{1}{3}$: Пятачок получит $\frac{5}{9}$, Пух — $\frac{4}{9}$. Разница: $\frac{1}{9}$.
   Ответ: у Пятачка больше на $\frac{1}{9}$ торта.
5. Среднее. Среднее арифметическое шести чисел равно 345, а среднее арифметическое четырёх других чисел равно 555. Чему равно среднее арифметическое всех десяти чисел?
   Решение:
   Сумма шести чисел: $6 \times 345 = 2070$. Сумма четырёх чисел: $4 \times 555 = 2220$.
   Среднее: $\frac{2070 + 2220}{10} = 429$.
   Ответ: 429.
6. Делимость. Про целое число $x$ известно, что $x + 2y$ делится на 7. Всегда ли сумма $x + y$ тоже делится на 7?
   Решение:
   Нет. Пример: $x = 5$, $y = 1$. Тогда $x + 2y = 7$ (делится на 7), но $x + y = 6$ (не делится).
   Ответ: не всегда.
7. Карточки. На пяти карточках написаны числа 1, 4, 6, 7, 9. Мама сообщила Пете и Оле, какие числа на карточках, и выдала каждому по две карточки из набора. Изучив свои карточки, Петя сказал Оле: «Я знаю, что на твоих карточках сумма чисел чётна!» — и был прав. Какие карточки получил Петя?
   Решение:
   Сумма всех карточек: $1 + 4 + 6 + 7 + 9 = 27$ (нечётная). Чтобы сумма двух карточек Оли была чётной, сумма карточек Пети должна быть нечётной. Единственная пара с нечётной суммой из двух чётных карточек: $4$ и $6$.
   Ответ: 4 и 6.
8. Уравнение. Решите уравнение: \[ \frac{x - 1{,}5}{3} = \frac{-0{,}5}{2} \]
   Решение:
   $\frac{x - 1{,}5}{3} = -0{,}25$
   $x - 1{,}5 = -0{,}75$
   $x = 0{,}75$.
   Ответ: 0,75.
9. Муравьи. В лабораторном муравейнике все муравьи рождаются и умирают только 1 мая. Каждый год 100 муравьёв рождается и 100 умирает. Каждый муравей живёт ровно 3 года. Сколько муравьёв в этом муравейнике?
   Решение:
   Каждый год рождается 100 муравьёв, которые живут 3 года. Всего три поколения: текущее, прошлогоднее и позапрошлогоднее.
   Ответ: 300 муравьёв.
10. Эскалатор. На видимой части эскалатора 210 ступенек. Вася ходит вниз по эскалатору со скоростью 4 ступеньки в секунду, наступая на каждую ступеньку, а эскалатор идёт со скоростью 3 ступеньки в секунду. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору и считал, на сколько ступенек он наступил. Сколько ступенек насчитал Вася, когда дошёл до конца эскалатора?
    Решение:
    Относительная скорость Васи: $4 + 3 = 7$ ступенек/с. Время спуска: $\frac{210}{7} = 30$ с.
    Ступенек насчитано: $4 \times 30 = 120$.
    Ответ: 120.
11. Цветок. В семи кружках расставлены различные числа так, что сумма чисел в любых трёх кружках, лежащих на одной прямой, одинакова и равна 546. Сумма всех семи чисел равна 546, а в центре стоит число 78. Чему равно $n$?
    Решение:
    Каждая прямая содержит центральное число и два других. Сумма двух других чисел: $546 - 78 = 468$. Всего три прямые. Сумма всех чисел: $3 \times 78 + 2 \times (a + b + c) = 546$. Решая, получаем $a + b + c = 156$. Число $n$ — одно из них.
    Ответ: 156.
12. Шарики. В коробке 10 красных, 12 синих и 15 зелёных шариков. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить не глядя, чтобы среди вынутых шариков обязательно нашлось 3 красных шарика, 4 синих и 5 зелёных?
    Решение:
    Наихудший сценарий: вытащили все синие (12), зелёные (15) и 2 красных. Всего: $12 + 15 + 2 = 29$. Следующий шарик — красный.
    Ответ: 30.
13. Забор. Участок 30 м × 300 м огорожен забором. Сколько метров забора надо ещё докупить, чтобы поделить участок на квадраты 10 × 10 м?
    Решение:
    Внутренние перегородки: по ширине $30/10 - 1 = 2$ линии длиной 300 м, по длине $300/10 - 1 = 29$ линий длиной 30 м.
    Длина забора: $2 \times 300 + 29 \times 30 = 600 + 870 = 1470$ м.
    Ответ: 1470 м.
14. Отметки. В параллели 12 классов по 30 учеников. За контрольную работу девятая часть учеников получила «отлично», треть — тройки, половина — четвёрки. Остальные получили «удовлетворительно». Сколько учеников получили «удовлетворительно»?
    Решение:
    Всего учеников: $12 \times 30 = 360$.
    «Отлично»: $\frac{360}{9} = 40$, «тройки»: $\frac{360}{3} = 120$, «четвёрки»: $\frac{360}{2} = 180$.
    Остальные: $360 - 40 - 120 - 180 = 20$.
    Ответ: 20.
15. По кругу. По кругу записаны 8 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в некотором порядке. Любые три соседние цифры дают в сумме нечётное число. Какой цифрой начинается запись?
    Решение:
    Сумма трёх чисел нечётна $\Rightarrow$ среди них 1 или 3 нечётных. Чередование чёт-нечёт-чёт. Начало — нечётная цифра.
    Ответ: нечётной (например, 1).
16. Поезд. Из пункта А в пункт Б вышел Андрей, а из пункта Б в А вышел Борис по той же дороге. В 11:00 расстояние между ними было 8 км. Скорость Андрея 4 км/ч, скорость Бориса 5 км/ч. На сколько ближе друг к другу они стали в 11:20? Смогли бы они встретиться между 11:00 и 12:00?
    Решение:
    Скорость сближения: $4 + 5 = 9$ км/ч. За 20 минут ($\frac{1}{3}$ часа): $9 \times \frac{1}{3} = 3$ км.
    Время до встречи: $\frac{8}{9} \approx 0{,}89$ часа $\approx$ 53 минуты. Встреча в 11:53.
    Ответ: на 3 км, да.