Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2024 год

07.06.2024

1. Дробь. Выполните действия и запишите ответ в виде обыкновенной дроби: \[ (12 - 8 \cdot \frac{1}{10}) : (7 + 1 \frac{1}{3}) \]
   
   
2. Проценты. За 2021 год производство деталей на заводе увеличилось на $20\%$. За 2022 год производство увеличилось на $10\%$. На сколько процентов увеличилось производство деталей за два года?
   
   
3. Поезда. Два поезда идут навстречу. Длина одного 540 м и его скорость 12 м/сек, длина другого — 340 м и его скорость 10 м/сек. Сколько секунд пройдет с момента, когда встретились передние вагоны, до момента, когда разъедутся хвосты поездов?
   
   
4. Монеты. Пираты играли на золотые монеты. Проиграл первый пират, он отдал второму половину наличных монет и еще одну. В результате у первого осталось 16 монет, а у второго стало 38. Сколько монет было у каждого пирата до игры?
   
   
5. Периметры. Четырёхугольник, периметр которого 22 см, разрезан диагональю на два треугольника. Периметры треугольников 15 см и 21 см. Найдите длину указанной диагонали.
   
   
   
6. Карточки. На пяти карточках написаны числа 2, 3, 7, 8, 9. Мама сообщила Пете и Оле, какие числа на карточках, выдав каждому по две карточки на выбор. Петя не знает, какие карточки достались Оле, но, изучив свои карточки, он сказал: я знаю, что на карточках Оли сумма чисел нечетна — и был прав. Какие карточки получил Петя?
   
   
7. Рыцари. В некотором королевстве живет 14 человек, рыцарей и лжецов, причем не все рыцари и не все лжецы. Каждый день один человек называет одного другого рыцарем. Оказалось, что среди рыцарей каждый назвал рыцарем рыцаря, а среди лжецов — лжеца. В какой день число названных рыцарей было наибольшим?
   
   
8. Куб. Куб с ребром 6 см складывают из 27 одинаковых кубиков. Куб покрасили снаружи (все грани), а потом разобрали на кубики. Сколько всего кубиков, у которых покрашена хотя бы одна грань?
   
   
9. Эскалатор. На видимой части эскалатора 280 ступенек. Вася идет со скоростью 4 ступеньки в секунду, наступая на каждую ступеньку; эскалатор идет со скоростью 3 ступеньки в секунду. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору и считал, на сколько ступенек он наступил (на все подряд). Сколько ступенек насчитал Вася, когда дошел до конца эскалатора?
   
   
10. Ряд. В ряд выписали числа с суммой цифр 22 от самого маленького до самого большого. Запишите первые два числа.
    
    
11. Подарок. Каждый из друзей хотел подарить Винни-Пуху столько банок меда, сколько лет другому, но не хватало 6 банок. Сове не хватало 3 банки, Пятачку — на 2 больше. Если они сложат свои банки, то им всё равно не хватит. Сколько лет Винни-Пуху? Объясните.
    
    
12. Сумма. Найдите сумму всех целых от 50 до 399 включительно. Будьте внимательны при подсчёте числа слагаемых.
    
    
13. Часы. Часы спешат на 11 минут 12 секунд в неделю, их точно поставили в 14:00 в воскресенье. Какое время они покажут в ближайший понедельник в 18:00?
    
    
14. Цифры. Ученик выписал все числа от 1 до 200. Сколько раз он написал цифру 7?
    
    
15. Деление. Треугольник разбит на вершины A, B, C. В финал прошли так, чтобы до вершины, обозначенной на рисунке красным, шли из остальных двух одинаковым количеством шагов. Из остальных вершин — неравное число шагов, из одной — один шаг. Укажите только одну. Ответ обведите.
    

Решения задач

1. Выполните действия и запишите ответ в виде обыкновенной дроби: \[ (12 - 8 \cdot \frac{1}{10}) : (7 + 1 \frac{1}{3}) \] Решение: \[ 12 - 8 \cdot \frac{1}{10} = 12 - \frac{4}{5} = \frac{60}{5} - \frac{4}{5} = \frac{56}{5} \] \[ 7 + 1 \frac{1}{3} = \frac{21}{3} + \frac{4}{3} = \frac{25}{3} \] \[ \frac{56}{5} : \frac{25}{3} = \frac{56}{5} \cdot \frac{3}{25} = \frac{168}{125} \] Ответ: \(\frac{168}{125}\).
   
   
2. Производство деталей увеличилось на $20\%$ в 2021 году и на $10\%$ в 2022 году. Найти общий процент увеличения за два года.
   Решение: Пусть начальное производство \(P\). После первого года: \(1,2P\). После второго года: \(1,2P \cdot 1,1 = 1,32P\). Увеличение на \(32\%\).
   Ответ: $32\%$.
   
   
3. Два поезда движутся навстречу. Длина первого 540 м (скорость 12 м/с), второго 340 м (скорость 10 м/с). Найти время от встречи передних вагонов до расхождения хвостов.
   Решение: Общая длина: \(540 + 340 = 880\) м. Относительная скорость: \(12 + 10 = 22\) м/с. \[ t = \frac{880}{22} = 40 \text{ сек.} \] Ответ: 40 секунд.
   
   
4. Первый пират проиграл половину монет и ещё одну, осталось 16. Найти исходное количество монет.
   Решение: Пусть у первого было \(x\) монет: \[ x - \left(\frac{x}{2} + 1\right) = 16 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{2} - 1 = 16 \quad \Rightarrow \quad x = 34 \] У второго стало 38 монет, значит до игры у него было: \[ 38 - \left(\frac{34}{2} + 1\right) = 38 - 18 = 20 \] Ответ: у первого 34, у второго 20.
   
   
5. Периметр четырёхугольника 22 см. Периметры треугольников 15 см и 21 см. Найти длину диагонали.
   Решение: Сумма периметров треугольников равна периметру четырёхугольника плюс удвоенная диагональ: \[ 15 + 21 = 22 + 2d \quad \Rightarrow \quad 2d = 14 \quad \Rightarrow \quad d = 7 \text{ см.} \] Ответ: 7 см.
   
   
6. Петя получил карточки с числами, сумма которых чётная. Возможные пары: (2,8), (3,9), (7,9).
   Ответ: 2 и 8; 3 и 9; 7 и 9.
   
   
7. Наибольшее число названных рыцарей — 7 (при равном количестве рыцарей и лжецов).
   Ответ: 7-й день.
   
   
8. Куб 6×6×6 разобран на 27 кубиков. Окрашены внешние грани. Кубиков с окрашенной гранью: 26.
   Ответ: 26.
   
   
9. Вася спускался по эскалатору. Время спуска: \( \frac{280}{4 + 3} = 40 \) сек. Наступил на \(4 \cdot 40 = 160\) ступенек.
   Ответ: 160.
   
   
10. Первые два числа с суммой цифр 22: 499 и 589.
    Ответ: 499, 589.
    
    
11. Пусть возраст Винни-Пуха \(x\). Из условий следует \(x = 8\).
    Ответ: 8 лет.
    
    
12. Сумма целых чисел от 50 до 399: \[ S = \frac{(50 + 399) \cdot 350}{2} = 78\,575 \] Ответ: $78\,575$.
    
    
13. Часы спешат на 11 мин 12 сек в неделю. За 28 часов: \[ \frac{672 \text{ сек}}{168} \cdot 28 = 112 \text{ сек} = 1 \text{ мин } 52 \text{ сек} \] Ответ: 18:01:52.
    
    
14. Цифра 7 встречается 40 раз (20 в единицах, 20 в десятках).
    Ответ: 40.
    
    
15. Вершина, до которой из двух других одинаковое число шагов — центр треугольника.
    Ответ: Центральная вершина (красная).