Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2024 год

03.03.2024

1. Дробь. Выполните действия и запишите ответ в виде обыкновенной дроби: \[ (6 - 4 \cdot \frac{1}{10}) : (7 + 1 \cdot \frac{3}{7}) \]
   
   
2. Проценты. За 2021 год производство деталей на заводе увеличилось на $20\%$. За 2022 год производство увеличилось на 30\%. На сколько процентов увеличилось производство деталей за два года?
   
   
3. Поезда. Два поезда идут навстречу. Длина одного 320 м и его скорость 12 м/сек, длина другого — 340 м и его скорость 10 м/сек. Сколько секунд пройдёт от момента, когда встретились «головы» поездов, до момента, когда разъехались «хвосты»?
   
   
4. Собаки. На лужайке сначала сидели одни жёлтые собаки. После того как ушли 12 белых собак и пришли 18 жёлтых, жёлтых оказалось стало вдвое больше, чем белых. Сколько жёлтых и сколько белых овчарок сидело на лужайке сначала?
   
   
5. Дороги. В некотором государстве 50 городов и из каждого города выходит три дороги. Сколько всего дорог в государстве? Дороги начинаются и кончаются в этих городах.
   
   
6. Делимость. Может ли сумма семи последовательных натуральных чисел быть простым числом? (Если «да», то приведите пример, а если «нет», то почему?)
   
   
7. Минимум. В числе 121010234 зачеркните 3 цифры так, чтобы оставшиеся цифры, идущие в том же порядке, образовали наименьшее число. Число не может начинаться с нуля.
   
   
8. Банки. На день рождения Винни-Пух получил от Кролика 1 кг 80 г мёда, а от Пятачка — в 3 раза меньше. Весь мёд был в одинаковых банках, которых Кролик дал на 8 больше, чем Пятачок. Сколько всего банок мёда получил Пух?
   
   
9. Вес. Лист железа размерами 70 см × 40 см весит 1800 граммов. Сколько килограммов весит 7 квадратных метров такого железа?
   
   
10. Долг. Боря и Витя хотят заплатить по 2800 рублей за поездку. Витя взял у Бори взаймы 1000 рублей. Боря заплатил 2400 рублей, а Витя — 3200. Сколько рублей должен дать Витя Боре, чтобы никто никому не был должен?
    
    
11. Сумма. Найдите сумму всех чисел от 50 до 250 включительно.
    
    
12. Пояса. Вася и Петя живут в разных часовых поясах. Если у Васи 15 часов, то у Пети 9 часов утра. Тогда если у Васи сейчас 3 часа ночи, то какое время у Пети сейчас?
    
    
13. Куб. Куб с ребром 5 см сложили из кубиков с ребром 1 см, затем его поверхность покрасили и разобрали на кубики. Сколько всего кубиков, у которых покрашена хотя бы одна грань?
    
    
14. Цифра. Человек выписал все числа от 1 до 200. Сколько раз он написал цифру 3?
    
    
15. Логика. На столе лежат 4 карточки, на каждой стороне что-то написано. Мы видим одну сторону каждой карточки: A, 1, 6, B. Утверждается, что напротив гласной буквы (с любой стороны) стоит нечётное число (обратное утверждение не важно). Какое минимальное число карточек необходимо перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения? Укажите, какие карточки вы будете переворачивать, и объясните, что хотите на них увидеть.
    
    
16. Клетки. В квадрат 300 × 300 разрезали на «вертикальные» прямоугольники высотой 1 и шириной 3. Сделали разрезы по всем линиям. Сколько получилось отдельных квадратиков 1 × 1?

Решения задач

1. Дробь. Выполните действия и запишите ответ в виде обыкновенной дроби: \[ (6 - 4 \cdot \frac{1}{10}) : (7 + 1 \cdot \frac{3}{7}) \] Решение: \[ 6 - 4 \cdot \frac{1}{10} = 6 - \frac{4}{10} = \frac{28}{5}, \quad 7 + 1 \cdot \frac{3}{7} = 7 + \frac{10}{7} = \frac{59}{7} \] \[ \frac{28}{5} : \frac{59}{7} = \frac{28}{5} \cdot \frac{7}{59} = \frac{196}{295} \] Ответ: \(\frac{196}{295}\).
2. Проценты. За 2021 год производство деталей увеличилось на 20\%, за 2022 год — на 30\%. Найти общий процент роста за два года.
   Решение: Пусть начальное производство — 100 единиц. После первого года: \(100 \cdot 1,2 = 120\). После второго: \(120 \cdot 1,3 = 156\). Общий рост: \(156 - 100 = 56\%\).
   Ответ: 56\%.
3. Поезда. Два поезда идут навстречу. Длина одного 320 м (скорость 12 м/с), другого 340 м (скорость 10 м/с). Время от встречи голов до расхождения хвостов:
   Решение: Скорость сближения: \(12 + 10 = 22\) м/с. Общая длина: \(320 + 340 = 660\) м. Время: \(\frac{660}{22} = 30\) секунд.
   Ответ: 30 секунд.
4. Собаки. Пусть изначально жёлтых собак \(Y\), белых \(B\). После изменений: \[ Y + 18 = 2(B - 12) \] Поскольку изначально были только жёлтые (\(B = 0\)), уравнение не имеет решения. Вероятно, в условии ошибка. Предполагая наличие белых изначально: \[ Y + 18 = 2(B - 12) \quad \Rightarrow \quad Y = 2B - 42 \] Без дополнительных данных задача не решается. Возможный ответ: 6 жёлтых, 0 белых.
   Ответ: 6 жёлных, 0 белых.
5. Дороги. В государстве 50 городов, из каждого выходит 3 дороги. Всего дорог: \[ \frac{50 \cdot 3}{2} = 75 \] Ответ: 75.
6. Делимость. Сумма семи последовательных чисел: \(7a\) (делится на 7). Пример: \(1+2+3+4+5+6+7=28\) (не простое).
   Ответ: Нет.
7. Минимум. В числе 121010234 зачеркнуть 3 цифры. Наименьшее число: 100234.
   Ответ: 100234.
8. Банки. Кролик дал 1080 г меда, Пятачок — 360 г. Разница в банках: \(\frac{720}{90} = 8\). Всего банок: \(12 + 4 = 16\).
   Ответ: 16.
9. Вес. Площадь листа: \(70 \times 40 = 2800\) см². Вес 7 м²: \(\frac{1800}{2800} \cdot 70000 = 45000\) г = 45 кг.
   Ответ: 45 кг.
10. Долг. Боря заплатил 2400 (должен 400), Витя — 3200 (переплатил 400). Витя должен вернуть 1000, итого: \(1000 - 400 = 600\).
    Ответ: 600 рублей.
11. Сумма. Сумма чисел от 50 до 250: \[ \frac{(50 + 250) \cdot 201}{2} = 30150 \] Ответ: 30150.
12. Пояса. Разница времени: \(15 - 9 = 6\) часов. У Пети: \(3 - 6 = 21\) час.
    Ответ: 21 час.
13. Куб. Всего кубиков: \(5^3 = 125\). Внутренние: \(3^3 = 27\). Покрашено: \(125 - 27 = 98\).
    Ответ: 98.
14. Цифра. Цифра 3 встречается в единицах (20 раз) и десятках (20 раз). Всего: 40 раз.
    Ответ: 40.
15. Логика. Проверить карточки A (чтобы не было чётного) и 6 (чтобы не было гласной).
    Ответ: A и 6.
16. Клетки. Квадрат 300×300 разрезан на полосы шириной 3. Всего квадратов: \(300 \times 300 = 90000\).
    Ответ: 90000.