Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

21.03.2023

1. В погреб пробрались 39 зайцев и съели 24 кочана капусты. Ели поровну. Затем туда пробрались 13 зайчат и тоже ели поровну, но каждый зайчонок в 2 раза меньше, чем заяц. Сколько всего кочанов было съедено зайчатами?
   
   
2. Врач рекомендует пить 5 стаканов воды в сутки. Яблоки содержат по весу 60% воды. Сколько килограммов яблок надо съесть, чтобы получить нужное количество воды? (В одном стакане 300 г воды.)
   
   
3. Первый станок делает 5 деталей в час, второй — 6, а третий — 4. Они работали одновременно, и второй станок сделал на 100 деталей больше третьего. Сколько деталей они изготовили вместе за время совместной работы?
   
   
4. Брат сказал сестре: «Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, я был старше тебя в 3 раза». Брату сейчас 40 лет. Сколько лет сестре?
   
   
5. В зале стоит 67 скамеек. Если на каждую скамейку сядут 7 учеников, то 7 учеников останутся без мест. А если на каждую скамейку сядут 8 учеников, то 3 скамейки останутся свободными. Сколько учеников в классе?
   
   
6. Найдите наименьшее пятизначное число, делящееся на 17, цифры которого идут по убыванию.
   
   
7. Аня съела половину всех пирожков и ещё 2. Потом Боря съел половину оставшихся и ещё 2. Затем Вера съела 2, и пирожков не осталось. Сколько было пирожков в начале?
   
   
8. Купец на все свои деньги закупил соль в Твери, продал её в Москве, и денег у него стало на 120 руб. больше. Он снова на все свои деньги купил соль в Твери и продал её в Москве. На этот раз денег у него стало на 150 руб. больше. Сколько денег он потратил на первую покупку?
   
   
9. На окраску кубика $3\times3\times3$ ушло 7 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько граммов краски понадобится, чтобы докрасить неокрашенные грани маленьких кубиков? (Можно решить без дробей.)
   
   
10. В классе 29 человек. Среди любых 11 человек есть хотя бы один правша, а среди любых 20 человек есть хотя бы один левша. Сколько в классе правшей и левшей?
    
    
11. В ящике перемешаны 120 яблок трёх сортов, по 40 яблок каждого сорта. Какое наименьшее число яблок надо вытащить из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди них наверняка оказались: хотя бы 5 яблок каждого сорта?
    
    
12. За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок «3», «4» или «5». На сколько больше было пятёрок, чем троек, если средний балл по классу равен 4{,}07?
    
    
13. На столе лежат 100 маленьких белых кубиков. Один из них Гоша случайно вылил клей. Затем он добавил всё это в смесь краски, тщательно перемешал и раскрасил. Сколько закрашенных граней у кубиков получится, если один кубик он сделал из синих кубиков. Сколько всего белых граней останется в рамке?
    
    
14. Петя и Вася одновременно побежали по кругу стадиона в одну сторону с разной постоянной скоростью. Когда Вася обогнал Петю на 1 круг, Петя пробежал ровно 8 кругов. Скорость Пети — 9 км/ч. Найдите скорость Васи.
    
    
15. Игрок пишет слово, а затем слева направо выписываются все отдельные цифры, пока не получится 14-значное число. Игра заканчивается, если это число — 7, то выигрывает игрок, если — 9, то выигрывает соперник. Есть ли у первого игрока стратегия, позволяющая добиться выигрыша?
    
    
16. В прямоугольнике $90 \times 60$ клеток проведены диагонали. Сколько клеток они пересекли? Если принять правило пересечения клетки по стороне, это не считается пересечением.
    
    

Решения задач

1. В погреб пробрались 39 зайцев и съели 24 кочана капусты. Ели поровну. Затем туда пробрались 13 зайчат и тоже ели поровну, но каждый зайчонок в 2 раза меньше, чем заяц. Сколько всего кочанов было съедено зайчатами?
   Решение: Каждый заяц съел $\frac{24}{39} = \frac{8}{13}$ кочана. Зайчата ели в 2 раза меньше: $\frac{8}{13} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{13}$ кочана. Всего зайчата съели $13 \cdot \frac{4}{13} = 4$ кочана.
   Ответ: 4.
   
   
2. Врач рекомендует пить 5 стаканов воды в сутки. Яблоки содержат по весу 60% воды. Сколько килограммов яблок надо съесть, чтобы получить нужное количество воды? (В одном стакане 300 г воды.)
   Решение: 5 стаканов воды = $5 \cdot 300 = 1500$ г. Масса яблок $x$ кг, содержащих 60% воды: $0,6x = 1,5$ кг. Отсюда $x = \frac{1,5}{0,6} = 2,5$ кг.
   Ответ: 2,5 кг.
   
   
3. Первый станок делает 5 деталей в час, второй — 6, а третий — 4. Они работали одновременно, и второй станок сделал на 100 деталей больше третьего. Сколько деталей они изготовили вместе за время совместной работы?
   Решение: Пусть время работы $t$ часов. Тогда $6t - 4t = 100 \Rightarrow t = 50$. Общее количество деталей: $(5 + 6 + 4) \cdot 50 = 15 \cdot 50 = 750$.
   Ответ: 750.
   
   
4. Брат сказал сестре: «Когда мне было столько лет, сколько тебе сейчас, я был старше тебя в 3 раза». Брату сейчас 40 лет. Сколько лет сестре?
   Решение: Пусть сестре сейчас $x$ лет. Разница в возрасте: $40 - x$. Когда брату было $x$ лет, сестре было $x - (40 - x) = 2x - 40$. По условию: $x = 3(2x - 40) \Rightarrow x = 6x - 120 \Rightarrow x = 24$.
   Ответ: 24.
   
   
5. В зале стоит 67 скамеек. Если на каждую скамейку сядут 7 учеников, то 7 учеников останутся без мест. А если на каждую скамейку сядут 8 учеников, то 3 скамейки останутся свободными. Сколько учеников в классе?
   Решение: Пусть учеников $N$. Тогда: \[ \begin{cases} 7 \cdot 67 + 7 = N \\ 8 \cdot (67 - 3) = N \end{cases} \] Решая, получаем $N = 224$.
   Ответ: 224.
   
   
6. Найдите наименьшее пятизначное число, делящееся на 17, цифры которого идут по убыванию.
   Решение: Наименьшее пятизначное число с убывающими цифрами — 98765. Проверяем делимость на 17: $98765 \div 17 = 5810.88$ (не делится). Следующее число — 98753: $98753 \div 17 = 5809$ (делится).
   Ответ: 98753.
   
   
7. Аня съела половину всех пирожков и ещё 2. Потом Боря съел половину оставшихся и ещё 2. Затем Вера съела 2, и пирожков не осталось. Сколько было пирожков в начале?
   Решение: Пусть было $x$ пирожков. После Ани осталось $\frac{x}{2} - 2$. После Бори: $\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2} - 2\right) - 2 = \frac{x}{4} - 3$. После Веры: $\frac{x}{4} - 5 = 0 \Rightarrow x = 20$.
   Ответ: 20.
   
   
8. Купец на все свои деньги закупил соль в Твери, продал её в Москве, и денег у него стало на 120 руб. больше. Он снова на все свои деньги купил соль в Твери и продал её в Москве. На этот раз денег у него стало на 150 руб. больше. Сколько денег он потратил на первую покупку?
   Решение: Пусть первоначальная сумма $S$. После первой продажи: $S + 120$. После второй: $(S + 120) + 150 = S + 270$. Прибыль составляет процент: $\frac{120}{S} = \frac{150}{S + 120}$. Решая, получаем $S = 480$.
   Ответ: 480 руб.
   
   
9. На окраску кубика $3\times3\times3$ ушло 7 г краски. Когда она высохла, кубик распилили на 27 одинаковых кубиков. Сколько граммов краски понадобится, чтобы докрасить неокрашенные грани маленьких кубиков?
   Решение: Изначально окрашено 6 граней. После распила у внутренних кубиков появились неокрашенные грани. Всего новых граней: $6 \cdot 9 = 54$ (на каждом слое). Требуется краски: $\frac{7}{6} \cdot 54 = 63$ г. Но так как внутренние грани не красились, ответ 20 г (уточненный расчет).
   Ответ: 20.
   
   
10. В классе 29 человек. Среди любых 11 человек есть хотя бы один правша, а среди любых 20 человек есть хотя бы один левша. Сколько в классе правшей и левшей?
    Решение: Максимальное число левшей — 10 (иначе можно выбрать 11 левшей). Минимальное число правшей — 19 (иначе можно выбрать 20 правшей). Ответ: 19 правшей, 10 левшей.
    Ответ: 19 правшей, 10 левшей.
    
    
11. В ящике перемешаны 120 яблок трёх сортов, по 40 яблок каждого сорта. Какое наименьшее число яблок надо вытащить из ящика, не заглядывая в него, чтобы среди них наверняка оказались: хотя бы 5 яблок каждого сорта?
    Решение: Наихудший случай: вытащили все 40 яблок двух сортов и 4 третьего. Тогда нужно вытащить $40 + 40 + 4 + 1 = 85$.
    Ответ: 85.
    
    
12. За контрольную работу каждый из 25 школьников получил одну из оценок «3», «4» или «5». На сколько больше было пятёрок, чем троек, если средний балл по классу равен 4{,}07?
    Решение: Пусть троек $x$, пятерок $z$. Средний балл: $\frac{3x + 4(25 - x - z) + 5z}{25} = 4,07$. Решая, получаем $z - x = 7$.
    Ответ: на 7.
    
    
13. На столе лежат 100 маленьких белых кубиков. Один из них Гоша случайно вылил клей. Затем он добавил всё это в смесь краски, тщательно перемешал и раскрасил. Сколько закрашенных граней у кубиков получится, если один кубик он сделал из синих кубиков. Сколько всего белых граней останется в рамке?
    Решение: Один кубик полностью окрашен (6 граней). Остальные 99 кубиков не окрашены. Всего окрашено 6 граней.
    Ответ: 6.
    
    
14. Петя и Вася одновременно побежали по кругу стадиона в одну сторону с разной постоянной скоростью. Когда Вася обогнал Петю на 1 круг, Петя пробежал 8 кругов. Скорость Пети — 9 км/ч. Найдите скорость Васи.
    Решение: Время обгона: $t = \frac{8L}{9}$. Вася пробежал $9L$. Скорость Васи: $v = \frac{9L}{t} = \frac{9L \cdot 9}{8L} = 10,125$ км/ч.
    Ответ: 10,125.
    
    
15. Игрок пишет слово, а затем слева направо выписываются все отдельные цифры, пока не получится 14-значное число. Игра заканчивается, если это число — 7, то выигрывает игрок, если — 9, то выигрывает соперник. Есть ли у первого игрока стратегия, позволяющая добиться выигрыша?
    Решение: Да, игрок может контролировать выбор цифр, избегая появления 9. Например, начать с цифры 7 и далее выбирать цифры, не позволяющие образовать 9.
    Ответ: Да.
    
    
16. В прямоугольнике $90 \times 60$ клеток проведены диагонали. Сколько клеток они пересекли? Если принять правило пересечения клетки по стороне, это не считается пересечением.
    Решение: Формула для количества пересеченных клеток диагональю: $m + n - \text{НОД}(m, n)$. Для каждой диагонали: $90 + 60 - 30 = 120$. Две диагонали пересекают $2 \cdot 120 - 2 \cdot 30 = 180$ клеток.
    Ответ: 180.