Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1-5

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Финиш. Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники финишировали в разное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на восьмом месте, а Вася был пятнадцатым с конца. Сколько человек участвовало в гонке?
   
   
2. Нуль. Сумма двух чисел равна 407, одно из них оканчивается нулём. Если зачеркнуть этот нуль, то получится второе число. Какие это числа (до зачеркивания)?
   
   
3. Краска. На окраску всех граней кубика ушло 7 граммов. Когда она высохла, кубик распилили на 8 одинаковых кубиков. Сколько понадобится граммов краски, чтобы окрасить неокрашенную часть поверхности этих кубиков?
   
   
4. Коврик. Туристический коврик толщиной 1 см сложили пополам (толщина 2 см). Всего складывали его пополам 3 раза. Какой толщины получился сложенный коврик в сантиметрах?
   
   
5. Пчелы. Чтобы получить 1 кг мёда, пчёлам надо собрать нектар с 28 млн. цветков. В день рабочая пчела посещает 7 тысяч цветков. Сколько дней надо работать 6 пчёлам, чтобы получить 1 кг мёда?
   
   
6. Офисы. В городе 50 офисов. В некоторых офисах есть кондиционеры, в некоторых — нет. Если в офисе есть кондиционер, то в нём работают 8 сотрудников. Если кондиционера нет — 5 сотрудников. Всего в городе 300 сотрудников. Сколько всего может быть офисов с кондиционером?
   
   
7. Делители. У двух натуральных чисел нет общих делителей, кроме 1, и их произведение равно 100. Найдите такие числа.
   
   
8. Тетради. 5 тетрадей, 4 ручки и 3 карандаша стоят 940 рублей, а 3 тетради, 4 ручки и 5 карандашей стоят 820 рублей. Сколько стоит набор: тетрадь, ручка и карандаш?
   
   
9. Шаги. Папа, мама и сын идут в школу. Пока папа делает 3 шага, мама делает 5 шагов. Пока мама делает 3 шага, сын делает 5 шагов. Сын сделал 500 шагов. Сколько шагов сделал папа?
   
   
10. Среднее. Сумма трёх различных натуральных чисел равна 199. Какое наибольшее значение может принимать среднее по величине число?
    
    
11. Бег. По круговой дорожке длиной 300 м одновременно в одном направлении выбежали Антон и Олег. Антон обгоняет Олега через каждые 12 минут. Через 48 минут бег прекратили. На сколько больше метров пробежал Антон, чем Олег?
    
    
12. Кубики. Куб $3 \times 3 \times 3$ состоит из 27 маленьких кубиков, один из которых чёрный, 8 белых, а остальные серые. Найдите наибольшее возможное количество белых кубиков, имеющих не менее двух общих граней с серыми кубиками.
    
    
13. Ключ. У студента есть ключ от своей комнаты и ящик. Первый ключ — в этой комнате не менее двух дней, а второй ключ — в ящике. С собой ключ он не носит. Как он попадает в комнату? (Это не загадка, а логическая задача.)
    
    
14. Вычитание. На доске написаны числа: $2, 3, \dots, 18, 19$. Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них их разность по модулю: $|a - b|$. Например, стёрли 5 и 3, и записали вместо них 2. Какое число останется в конце?
    
    
15. Поля. Периметр поля 1500 м, его разделили за прямым забором на два равных. Периметр первой половины оказался 900 м. Найдите площадь поля в квадратных метрах.
    
    
16. Шкаляки. Одинаковые шкаляки выстроились в одну шеренгу и пронумеровались по порядку. Шкаляк номер 1 сказал: «У меня за спиной стоит нечётное число шкаляков». Номер 2: «У меня за спиной стоит чётное число шкаляков» и т. д. Какую наибольшую шкаляку, из тех, что ответили неправильно, можно оставить, не удаляя остальных? Ответ обоснуйте.

Решения задач

1. Финиш. Петя финишировал на 8-м месте, Вася — на 7-м. Поскольку Вася 15-й с конца, общее количество участников: $7 + 15 = 22$. Но Петя финиширует сразу после Васи, поэтому добавляем ещё 1: $22 + 1 = 23$.
   Ответ: 23.
   
   
2. Нуль. Пусть первое число $10x$, второе $x$. Тогда $10x + x = 407 \Rightarrow 11x = 407 \Rightarrow x = 37$. Числа: $370$ и $37$.
   Ответ: 370 и 37.
   
   
3. Краска. После распила куба на 8 кубиков, каждый имеет 3 неокрашенные грани. Всего неокрашенных граней: $8 \cdot 3 = 24$. На исходный куб ушло 7 г краски, значит на одну грань $\frac{7}{6}$ г. На 24 грани: $24 \cdot \frac{7}{6 \cdot 4} \cdot 4 = 7$ г.
   Ответ: 7.
   
   
4. Коврик. После трёх складываний толщина: $1 \cdot 2^3 = 8$ см.
   Ответ: 8.
   
   
5. Пчелы. Требуется $28\,000\,000$ цветков. 6 пчёл за день: $6 \cdot 7000 = 42\,000$. Дней: $\frac{28\,000\,000}{42\,000} \approx 667$.
   Ответ: 667.
   
   
6. Офисы. Пусть $x$ офисов с кондиционером. Тогда $8x + 5(50 - x) = 300 \Rightarrow 3x = 50$. Нет целых решений. Ответ: невозможно.
   Ответ: нет решения.
   
   
7. Делители. Числа 4 и 25: $4 \cdot 25 = 100$, НОД$(4, 25) = 1$.
   Ответ: 4 и 25.
   
   
8. Тетради. Система: $\begin{cases} 5т + 4р + 3к = 940 \\ 3т + 4р + 5к = 820 \end{cases}$. Вычитаем: $2т - 2к = 120 \Rightarrow т = к + 60$. Подставляем: $т + р + к = 220$.
   Ответ: 220.
   
   
9. Шаги. Соотношение шагов: папа : мама : сын = 9 : 15 : 25. Сын сделал 500 шагов $\Rightarrow$ папа: $\frac{9}{25} \cdot 500 = 180$.
   Ответ: 180.
   
   
10. Среднее. Максимизируем среднее число: $a = 1$, $b = 98$, $c = 100$. Среднее: 98.
    Ответ: 98.
    
    
11. Бег. За 48 минут Антон обгоняет Олега 4 раза, пробегая на $4 \cdot 300 = 1200$ м больше.
    Ответ: 1200.
    
    
12. Кубики. Белые кубики в углах (8 штук) имеют 3 серых соседа.
    Ответ: 8.
    
    
13. Ключ. Ключ в ящике внутри комнаты. Студент использует его для входа, оставляя другой ключ внутри.
    Ответ: ключ в ящике внутри комнаты.
    
    
14. Вычитание. Сумма чисел от 2 до 19 нечётна. Последнее число — 1.
    Ответ: 1.
    
    
15. Поля. Пусть длина забора 75 м. Стороны поля: 675 м и 75 м. Площадь: $675 \cdot 75 = 50\,625$ м².
    Ответ: $50\,625$.
    
    
16. Шкаляки. При нечётном количестве шкаляков наибольший лжец — последний. Например, для 49 шкаляков.
    Ответ: 49.