Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2023 год
18.04.2023
- Футбол. В команде 22 футболиста. 9 из них умеют бить по воротам с левой ноги, 14 — с правой, из которых 6 умеют делать и то, и другое. Остальные футболисты умеют бить только головой. Сколько футболистов не умеют бить ногами?
- Годы. Маме сейчас 35 лет, папе 39, а их детям 8, 10, 12 и 14 лет. Через сколько лет всем детям вместе будет столько же лет, сколько будет маме и папе вместе?
- Движение. Маша и Саша, поссорившись, пошли с равными скоростями в противоположные стороны. Через 4 минуты Саша решил помириться и, развернувшись, стал догонять Машу, увеличив скорость в 3 раза. Сколько пройдёт минут, когда он догонит Машу?
- Цирк. В цирке есть только тигры, львы и обезьяны. Тигров в 3 раза меньше, чем львов и обезьян вместе, а обезьян в 2 раза больше, чем тигров и львов вместе. Сколько в цирке тигров, если львов 5?
- Прогнозы. Сделаны четыре прогноза на победу в шахматном турнире: 1) победит Петя; 2) победит не Коля; 3) победит Аня; 4) победит не Аня. В турнире оказался один победитель и при этом ровно один прогноз оказался верным. Кто победил?
- Доска. Маша захотела нарисовать шахматный узор на квадратной доске с шахматной раскраской, на которой 85 чёрных клеток: какова длина стороны доски?
- Кубик. На гранях кубика написаны разные буквы: «Б», «Р». Изобразите на развёртке куба положение букв «Б» и «Р» (на какой грани по счёту она находится от «Б»).
- Леденцы. В ящике для сладостей есть много красных, жёлтых и зелёных леденцов. Какое наименьшее количество леденцов надо вытащить наугад из ящика, чтобы среди них было по 6 леденцов одного цвета (не важно, какого)?
- Квадрат. Найдите наименьшее натуральное число, которое больше 8100, и которое является квадратом натурального числа.
- Цена. За книгу заплатили 77 руб. и осталось заплатить ещё столько, сколько осталось бы заплатить, если бы за неё заплатили столько, сколько осталось заплатить. Сколько стоит эта книга?
- Монеты. У Пети в кармане несколько монет, причём среди любых четырёх найдётся монета 1 рубль, а среди любых пяти найдётся монета 2 рубля. Петя вытащил из кармана 7 монет. Какие это монеты?
- Ряд. Первое число 52, затем у каждого числа находят сумму цифр и умножают её на 13, — следующее число. Например, второе число: $(5+2)\cdot 13 = 91$. Какое число стоит на 2022-м месте?
- Ладья. Ладья обошла все клетки доски $90 \times 90$ по одному разу и вернулась в исходную клетку. Центры клеток помечали по порядку, в котором их обошли. Линия образовала замкнутую ломаную. Найдите длину этой ломаной. (В длину входит вся сторона клетки, если ломаная её пересекает хотя бы на 1 мм.)
- Квадраты. На клетчатой бумаге нарисован квадратный прямоугольник, состоящий из квадратов. Квадраты состоят из целого числа клеток размером 1 см. По вертикали сторона прямоугольника равна 94 см. Какова ширина прямоугольника в клетках?
- Прирост. От каждой стороны исходного прямоугольника отступили на 3 см во внутрь и провели новые стороны, тем самым образовав новый прямоугольник. Его площадь оказалась на 132 см² меньше площади исходного. Найдите площадь исходного прямоугольника.
- Последовательность. Натуральные числа выписали по правилам: $3, 6, 13, 21; \ldots$ каждое следующее число равно сумме предыдущего и числа, на 1 большего номера. Найдите 17-е число последовательности.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Футбол. В команде 22 футболиста. Используем формулу включений-исключений:
Число футболистов, умеющих бить ногами: $9 + 14 - 6 = 17$.
Не умеющих бить ногами: $22 - 17 = 5$.
Ответ: 5.
- Годы. Сумма возрастов родителей сейчас: $35 + 39 = 74$, детей: $8 + 10 + 12 + 14 = 44$. Разница: $74 - 44 = 30$. Каждый год сумма родителей увеличивается на 2, детей — на 4. Разница уменьшается на 2 в год:
$30 : 2 = 15$ лет.
Ответ: 15.
- Движение. За 4 минуты расстояние между Машей и Сашей: $4v + 4v = 8v$. Относительная скорость сближения: $3v + v = 4v$. Время до встречи: $\frac{8v}{4v} = 2$ минуты.
Ответ: 2.
- Цирк. Пусть тигров $T$, обезьян $O$. Уравнения:
$T = \frac{5 + O}{3}$ и $O = 2(T + 5)$.
Подставляем $T$ во второе уравнение:
$O = 2\left(\frac{5 + O}{3} + 5\right) \Rightarrow O = 40$, тогда $T = 15$.
Ответ: 15.
- Прогнозы. Если победил Коля, верен только прогноз 2. Остальные прогнозы неверны. Условие выполнено.
Ответ: Коля.
- Доска. Количество чёрных клеток: $\frac{n^2 + 1}{2} = 85 \Rightarrow n^2 = 169 \Rightarrow n = 13$.
Ответ: 13.
- Кубик. Буквы «Б» и «Р» расположены на противоположных гранях куба. На развёртке: «Б» на центральной грани, «Р» — через одну грань.
Ответ:
- Леденцы. Наихудший случай: 5 красных, 5 жёлтых, 5 зелёных. Следующий леденец даст 6 одного цвета: $5 + 5 + 5 + 1 = 16$.
Ответ: 16.
- Квадрат. Наименьший квадрат больше 8100: $91^2 = 8281$.
Ответ: 8281.
- Цена. Пусть цена книги $x$ руб. Уравнение: $x - 77 = 77 \Rightarrow x = 154$.
Ответ: 154.
- Монеты. Среди любых четырёх монет есть 1 рубль ⇒ не более трёх монет не 1 рубля. Среди любых пяти есть 2 рубля ⇒ не более четырёх монет не 2 рубля. Петя вытащил 7 монет: 4 монеты по 1 рублю и 3 по 2 рубля.
Ответ: 4×1 рубль, 3×2 рубля.
- Ряд. Последовательность циклична: 52 → 91 → 130 → 52. Длина цикла 3. $2022 \mod 3 = 0$ ⇒ 2022-е число равно третьему в цикле — 130.
Ответ: 130.
- Ладья. Ладья посещает $90 \times 90 = 8100$ клеток. Длина ломаной равна количеству переходов: $8100$ см.
Ответ: 8100 см.
- Квадраты. Высота прямоугольника 94 см. НОД(94, ширина) = 47. Ширина: 47 клеток.
Ответ: 47.
- Прирост. Пусть стороны исходного прямоугольника $a$ и $b$. Уравнение: $ab - (a-6)(b-6) = 132 \Rightarrow 6(a + b) - 36 = 132 \Rightarrow a + b = 28$. При $a = b = 14$ площадь $14 \times 14 = 196$.
Ответ: 196.
- Последовательность. Формула: $a_n = a_{n-1} + (n + 1)$. Для $n=17$: $a_{17} = 171$.
Ответ: 171.
Материалы школы Юайти