Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1-4

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Разность. Найдите разность между наибольшей из следующих трёх дробей и наименьшей из этих дробей: \( \frac{11}{12}, \frac{19}{20}, \frac{23}{25} \). Ответ дайте в виде несократимой дроби.
2. Скорость. Вчера Аня пробежала 2 км за 5 минут, а сегодня — за 4 минуты. На сколько процентов увеличилась её скорость? (Бежала она равномерно.)
3. Яблоки. В магазине купили 880 фруктов: яблок, груш и апельсинов. Число яблок в 2 раза больше, чем груш, и в 3 раза больше, чем апельсинов. Сколько яблок купили?
4. Ступени. Видимая часть эскалатора — 300 ступенек. Скорость эскалатора — 2 ступеньки в секунду. Витя шёл по ходу движения эскалатора и прошёл его за 75 секунд. С какой скоростью шёл Витя (ступенек в секунду)?
5. Куски. Чтобы разобрать торт, Сеня разрезал его на 4 куска, потом один из кусков ещё на 4 куска, и так всего он разделил один очередной кусок на 8 новых 50 раз. Сколько всего кусков получилось?
6. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на каждое число из списка: 48, 54, 56.
7. Поезд. Поезд длиной 500 м проехал туннель длиной 4 км со скоростью 60 км/ч. Сколько секунд прошло от момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля?
8. Краска. 7 маляров за 5 часов непрерывной работы окрашивают площадь 1050 м² стен. За сколько часов 4 маляра окрасят 2400 м² стен? Все маляры работают с одинаковой скоростью.
9. Длина. Куб ребром 60 см сложили из кубиков с ребром 1 см, а затем выложили эти кубики в один ряд. Какой длины получился этот ряд (в метрах)? Внутри куба пустот нет.
10. Вспашка. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 16 га/ч. За одинаковое время второй трактор вспахал на 30 га больше первого. Сколько гектаров вспахал каждый трактор?
11. Объём. Бак длиной 8 м и шириной 12 м содержит 384 кубометров нефти. Какой высоты (в метрах) уровень нефти в баке?
12. Минимум. Замените в ребусе ЛОЖКА + СУП (трёхзначное число и трёхзначное) буквы соответствующими цифрами, чтобы сумма была минимальна. Одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. В ответе напишите сумму.
13. Градусы. На сколько градусов повернётся минутная стрелка часов за 18 минут? (Полный круг содержит 360 градусов, часы — 60 минут.)
14. Вода. На полив поля размером 50 м на 40 м нужно 5 бочек воды. Сколько бочек воды понадобится для полива поля размером 180 м на 200 м?
15. Частное. Число 99$\ldots9$ (всего написано 500 девяток) поделили на число 99$\ldots9$ (всего написано 250 девяток). Сколько цифр получилось в частном?
16. Определение. Контрольную работу назовём несложной, если каждый ученик решил больше трети задач. Дополните определение: «Тогда контрольная работа будет называться сложной, если: $\rule{5cm}{0.15mm}»$.

Решения задач

1. Разность. Найдите разность между наибольшей и наименьшей дробями: \( \frac{11}{12}, \frac{19}{20}, \frac{23}{25} \).
   Решение: Сравним дроби:
   \(\frac{11}{12} \approx 0,9167\), \(\frac{19}{20} = 0,95\), \(\frac{23}{25} = 0,92\).
   Наибольшая дробь: \(\frac{19}{20}\), наименьшая: \(\frac{11}{12}\).
   Разность: \(\frac{19}{20} - \frac{11}{12} = \frac{57}{60} - \frac{55}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\).
   Ответ: \(\frac{1}{30}\).
2. Скорость. Аня пробежала 2 км за 5 минут и 4 минуты. На сколько процентов увеличилась скорость?
   Решение: Скорость вчера: \(\frac{2}{5} = 0,4\) км/мин. Сегодня: \(\frac{2}{4} = 0,5\) км/мин.
   Увеличение скорости: \(\frac{0,5 - 0,4}{0,4} \cdot 100% = 25\%\).
   Ответ: 25\%.
3. Яблоки. Всего 880 фруктов. Яблок в 2 раза больше груш и в 3 раза больше апельсинов.
   Решение: Пусть груш \(x\), тогда яблок \(2x\), апельсинов \(\frac{2x}{3}\).
   \(x + 2x + \frac{2x}{3} = 880 \Rightarrow \frac{11x}{3} = 880 \Rightarrow x = 240\).
   Яблок: \(2 \cdot 240 = 480\).
   Ответ: 480.
4. Ступени. Витя прошёл эскалатор за 75 секунд. Скорость эскалатора — 2 ступеньки/с.
   Решение: Пусть скорость Вити \(v\) ступ/с. Тогда:
   \(75(v + 2) = 300 \Rightarrow v + 2 = 4 \Rightarrow v = 2\).
   Ответ: 2 ступеньки/с.
5. Куски. Сеня разрезал торт 50 раз, каждый раз увеличивая число кусков на 3.
   Решение: Начальный кусок: 1. После 50 разрезов: \(1 + 3 \cdot 50 = 151\).
   Ответ: 151.
6. НОК. Наименьшее натуральное число, делящееся на 48, 54, 56.
   Решение: Разложим на множители:
   \(48 = 2^4 \cdot 3\), \(54 = 2 \cdot 3^3\), \(56 = 2^3 \cdot 7\).
   НОК: \(2^4 \cdot 3^3 \cdot 7 = 3024\).
   Ответ: 3024.
7. Поезд. Поезд длиной 500 м проезжает туннель 4 км за время:
   Решение: Общий путь: \(500 + 4000 = 4500\) м. Скорость: \(60\) км/ч \(= \frac{50}{3}\) м/с.
   Время: \(\frac{4500}{\frac{50}{3}} = 270\) секунд.
   Ответ: 270.
8. Краска. 7 маляров за 5 часов — 1050 м². Время для 4 маляров на 2400 м²:
   Решение: Производительность: \(\frac{1050}{7 \cdot 5} = 30\) м²/(чел·ч).
   Время: \(\frac{2400}{4 \cdot 30} = 20\) часов.
   Ответ: 20.
9. Длина. Куб 60 см из кубиков 1 см. Длина ряда:
   Решение: Количество кубиков: \(60^3 = 216000\).
   Длина ряда: \(216000\) см \(= 2160\) м.
   Ответ: 2160.
10. Вспашка. Тракторы вспахали 10 га/ч и 16 га/ч. Разница — 30 га.
    Решение: Пусть время \(t\). Тогда \(16t - 10t = 30 \Rightarrow t = 5\).
    Первый трактор: \(10 \cdot 5 = 50\) га, второй: \(16 \cdot 5 = 80\) га.
    Ответ: 50 и 80.
11. Объём. Бак 8 м × 12 м содержит 384 м³ нефти. Высота:
    Решение: \(8 \cdot 12 \cdot h = 384 \Rightarrow h = 4\) м.
    Ответ: 4.
12. Минимум. Минимальная сумма ЛОЖКА + СУП:
    Решение: Минимальные числа: ЛОЖКА = 10234, СУП = 567. Сумма: \(10234 + 567 = 10801\).
    Ответ: 10801.
13. Градусы. Минутная стрелка за 18 минут:
    Решение: \(360° \cdot \frac{18}{60} = 108°\).
    Ответ: 108°.
14. Вода. Поле 50×40 м — 5 бочек. Поле 180×200 м:
    Решение: Площадь увеличилась в \(\frac{180 \cdot 200}{50 \cdot 40} = 18\) раз. Бочек: \(5 \cdot 18 = 90\).
    Ответ: 90.
15. Частное. Число из 500 девяток делить на число из 250 девяток:
    Решение: \(\frac{10^{500} - 1}{10^{250} - 1} = 10^{250} + 1\). Количество цифр: 251.
    Ответ: 251.
16. Определение. Контрольная называется сложной, если:
    Ответ: существует ученик, решивший не больше трети задач.