Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

14.03.2023

1. Крупы. Цена 1 кг гречки на 30 руб. больше цены 1 кг риса. На сколько рублей дороже 600 г гречки, чем 600 г риса?
   
   
2. Делимое. Делимое в 5 раз больше делителя, а делитель в 5 раз больше частного, остатка нет. Чему равно делимое?
   
   
3. Стена. Стену размером $3 \times 3$ м надо покрыть квадратными плитками размером $25 \times 25$ см. Сколько понадобится плиток?
   
   
4. Плитки. 4 рабочих за 3 часа укладывают 1800 плиток. Сколько понадобится рабочих, чтобы уложить 2400 таких же плиток за 8 часов работы?
   
   
5. Маяк. Три маяка вспыхнули одновременно. Первый вспыхивает через каждые 72 секунды, второй — через каждые 90 секунд, а третий — через каждые 80 секунд. Через какое наименьшее число секунд они снова вспыхнут одновременно?
   
   
6. Цифры. Используя цифры от 0 до 9 ровно по одному разу, напишите два четырёхзначных числа, у которых сумма наибольшая. В ответе укажите сумму этих чисел.
   
   
7. Цифры. Чему равно: ТИР + КОТ + СОН – ТОР – КИТ – НОС, если С = Н + 3? Разные буквы — это разные цифры, все числа трёхзначные.
   
   
8. Туннель. Поезд длиной 500 м проехал туннель со скоростью 60 км/ч. От момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля, прошло 114 секунд. Какой длины был туннель?
   
   
9. Мосты. Каждый из 36 островов соединён мостами с тремя другими островами. Сколько всего мостов между островами?
   
   
10. Круг. На бумажном круге нарисовали 35 прямых от края до края так, что отрезки не имеют общих концов. На сколько частей разделена граница круга?
    
    
11. Умножение. Число 9 умножили 50 раз на 5 и 50 раз на 2. Какой результат получили?
    
    
12. Шоссе. Между городами A и B вдоль шоссе находятся турбаза и заправка. Турбаза на 6 км ближе к A, чем к B, а заправка на 8 км ближе к B, чем к A. Сколько километров между турбазой и заправкой?
    
    
13. Размен. Автомат разменивал большую купюру на 4 меньшие. У торговца было 100 больших купюр, а после нескольких разменов стало 160 купюр. Сколько раз он разменивал купюры в автомате?
    
    
14. Поле. В квадратном поле $100 \times 100$ клеток закрасили квадрат $73 \times 73$, покрывающий левый верхний угол поля, и квадрат $57 \times 57$, покрывающий правый нижний угол поля. Сколько клеток осталось незакрашенными?
    
    
15. Логика. Контрольную работу назовём сложной, если есть задача, которую решили не больше пяти человек. Продолжите определение: «Контрольная называется несложной, если...»
    
    
16. По кругу стоят 7 чисел, одно из чисел равно 5, сумма любых трёх чисел подряд одна и та же. Найдите все эти числа и объясните, почему других вариантов нет.

Решения задач

1. Крупы. Цена 1 кг гречки на 30 руб. больше цены 1 кг риса. На сколько рублей дороже 600 г гречки, чем 600 г риса?
   Решение: Разница в цене за 1 кг составляет 30 руб. Для 600 г (0,6 кг) разница составит:
   $0,6 \cdot 30 = 18$ (руб.)
   Ответ: 18.
2. Делимое. Делимое в 5 раз больше делителя, а делитель в 5 раз больше частного, остатка нет. Чему равно делимое?
   Решение: Пусть частное равно $x$. Тогда делитель равен $5x$, а делимое:
   $5 \cdot 5x = 25x$.
   По условию $25x = 5x \cdot x \Rightarrow x = 5$.
   Делимое: $25 \cdot 5 = 125$.
   Ответ: 125.
3. Стена. Стену размером $3 \times 3$ м надо покрыть квадратными плитками размером $25 \times 25$ см. Сколько понадобится плиток?
   Решение: Площадь стены: $3 \cdot 3 = 9$ м² = 90000 см². Площадь одной плитки: $25 \cdot 25 = 625$ см².
   Количество плиток: $\frac{90000}{625} = 144$.
   Ответ: 144.
4. Плитки. 4 рабочих за 3 часа укладывают 1800 плиток. Сколько понадобится рабочих, чтобы уложить 2400 таких же плиток за 8 часов работы?
   Решение: Производительность одного рабочего в час: $\frac{1800}{4 \cdot 3} = 150$ плиток.
   Необходимое количество рабочих: $\frac{2400}{8 \cdot 150} = 2$.
   Ответ: 2.
5. Маяк. Три маяка вспыхнули одновременно. Первый вспыхивает через каждые 72 секунды, второй — через каждые 90 секунд, а третий — через каждые 80 секунд. Через какое наименьшее число секунд они снова вспыхнут одновременно?
   Решение: Найдём НОК периодов:
   $72 = 2^3 \cdot 3^2$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $80 = 2^4 \cdot 5$.
   НОК: $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5 = 16 \cdot 9 \cdot 5 = 720$.
   Ответ: 720.
6. Цифры. Используя цифры от 0 до 9 ровно по одному разу, напишите два четырёхзначных числа, у которых сумма наибольшая. В ответе укажите сумму этих чисел.
   Решение: Максимальная сумма достигается при числах 9753 и 8642.
   Сумма: $9753 + 8642 = 18395$.
   Ответ: 18395.
7. Цифры. Чему равно: ТИР + КОТ + СОН – ТОР – КИТ – НОС, если С = Н + 3? Разные буквы — это разные цифры, все числа трёхзначные.
   Решение: После сокращения подобных слагаемых остаётся $99(С - Н)$. При $С = Н + 3$:
   $99 \cdot 3 = 297$.
   Ответ: 297.
8. Туннель. Поезд длиной 500 м проехал туннель со скоростью 60 км/ч. От момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля, прошло 114 секунд. Какой длины был туннель?
   Решение: Скорость $60$ км/ч = $\frac{50}{3}$ м/с. Пройденное расстояние: $\frac{50}{3} \cdot 114 = 1900$ м.
   Длина туннеля: $1900 - 500 = 1400$ м.
   Ответ: 1400.
9. Мосты. Каждый из 36 островов соединён мостами с тремя другими островами. Сколько всего мостов между островами?
   Решение: Каждый мост учитывается дважды. Общее количество: $\frac{36 \cdot 3}{2} = 54$.
   Ответ: 54.
10. Круг. На бумажном круге нарисовали 35 прямых от края до края так, что отрезки не имеют общих концов. На сколько частей разделена граница круга?
    Решение: Каждая хорда добавляет 2 точки на окружности. Всего точек: $35 \cdot 2 = 70$. Количество дуг: $70$.
    Ответ: 70.
11. Умножение. Число 9 умножили 50 раз на 5 и 50 раз на 2. Какой результат получили?
    Решение: $9 \cdot 5^{50} \cdot 2^{50} = 9 \cdot 10^{50}$.
    Ответ: $9 \cdot 10^{50}$.
12. Шоссе. Между городами A и B вдоль шоссе находятся турбаза и заправка. Турбаза на 6 км ближе к A, чем к B, а заправка на 8 км ближе к B, чем к A. Сколько километров между турбазой и заправкой?
    Решение: Пусть расстояние между городами $S$. Для турбазы: $S = 2x + 6$, для заправки: $S = 2y + 8$. Из равенства $x = y + 1$ расстояние между ними: $7$ км.
    Ответ: 7.
13. Размен. Автомат разменивал большую купюру на 4 меньшие. У торговца было 100 больших купюр, а после нескольких разменов стало 160 купюр. Сколько раз он разменивал купюры в автомате?
    Решение: Каждый размен увеличивает количество купюр на $3$. Разница: $160 - 100 = 60$. Количество разменов: $\frac{60}{3} = 20$.
    Ответ: 20.
14. Поле. В квадратном поле $100 \times 100$ клеток закрасили квадрат $73 \times 73$, покрывающий левый верхний угол поля, и квадрат $57 \times 57$, покрывающий правый нижний угол поля. Сколько клеток осталось незакрашенными?
    Решение: Площадь перекрытия: $(73 + 57 - 100)^2 = 30^2 = 900$. Незакрашенные клетки: $10000 - (73^2 + 57^2 - 900) = 2322$.
    Ответ: 2322.
15. Логика. Контрольную работу назовём сложной, если есть задача, которую решили не больше пяти человек. Продолжите определение: «Контрольная называется несложной, если...»
    Ответ: ...каждую задачу решили более пяти человек.
16. По кругу стоят 7 чисел, одно из чисел равно 5, сумма любых трёх чисел подряд одна и та же. Найдите все эти числа и объясните, почему других вариантов нет.
    Решение: Из условия цикличности все числа равны. Поскольку одно из них равно 5, все числа равны 5.
    Ответ: Все числа равны 5.