Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1-3

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

1. Бег. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки кругового маршрута в одном направлении. Первый бегун делает полный круг за 6 мин, второй — за 9 мин. Через сколько минут первый бегун снова встретит второго?
2. Между. Приведите пример дроби, которая больше $0{,}3$ и меньше $0{,}31$.
3. Доля. Сколько процентов составляет $0{,}21$ от $1{,}4$?
4. Середина. На числовой прямой отмечены точки $A(0{,}12)$ и $B(0{,}6)$. Какому числу соответствует середина отрезка AB?
5. Бидон. Полный бидон с молоком весит 4 кг, а тот же бидон, заполненный молоком наполовину, весит $2{,}7$ кг. Сколько килограммов весит бидон без молока?
6. Класс. В классе 30 учеников. Каждой девочке дали 7 конфет, а каждому мальчику — 5 конфет. Всего дали 176 конфет. Сколько в классе девочек?
7. Поезд. Поезд длиной 500 м проехал туннель длиной 1 км со скоростью 60 км/ч. Сколько секунд прошло от момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля?
8. Строители. 5 строителей за 7 часов укладывают 10500 кирпичей. За сколько часов непрерывной работы 8 строителей уложат 12000 кирпичей? Все строители работают с одинаковой скоростью.
9. Куб. Куб с ребром 20 см сложили из кубиков с ребром 1 см, а затем выложили эти кубики в один ряд. Какой длины получился этот ряд (в метрах)? Внутри куба пустот нет.
10. Колёса. Даша и Аня ехали рядом на самокатах. У Дашиного самоката колёса побольше, поэтому на каждые 5 оборотов колеса, анино колесо делает 7 оборотов. Когда зашкаливает шагомер, показывается 100 оборотов. Если у Даши колесо немного больше, чем у Ани, сколько километров проехала каждая на своих самокатах?
11. Бассейн. В бассейн длиной 60 м и шириной 40 м налили 1800 кубометров воды. Сколько сантиметров поднялся уровень воды?
12. Максимум. Зашифровано слово из четырёх букв: СЫР и ещё одна буква. Слово выглядит так, что первые три буквы — СЫР. Найдите количество разных слов, если: (а) буквы не повторяются; (б) можно использовать любые буквы из русского алфавита (включая буквы С, Ы, Р).
13. Шарики. В мешке лежат пронумерованные шарики от 1 до 100, но, набирая одно из них, случайно стерли последнюю цифру. Шарики оказались с номерами от 1 до 10 включительно. Поэтому вместо 55 оказался шарик с номером 5. В каком случае допущена ошибка (один вариант)?
14. Поле. Чтобы засеять поле размером 60 м на 100 м нужно 70 кг удобрений. Сколько кг удобрений понадобится, чтобы засеять поле размером 150 м на 200 м?
15. Проценты. В классе девочек $40\%$. Каждой девочке дали 4 конфеты, а каждому мальчику — 2 конфеты. Сколько процентов от всех конфет получили девочки?
16. Логика. Утром Лена сказала: «Вчера я была лгуньёй». (Лгуны всегда лгут, а правдивые всегда говорят правду.) Кто такая Лена?

Решения задач

1. Бег. Первый бегун обгоняет второго на полный круг за время $T$. Разница скоростей: $\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$ круга/мин. Время встречи: $\frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ мин.
   Ответ: 18 минут.
2. Между. Пример дроби: $0{,}305 = \frac{61}{200}$.
   Ответ: $\frac{61}{200}$ (или другая дробь между 0,3 и 0,31).
3. Доля. $\frac{0{,}21}{1{,}4} \cdot 100% = 15\%$.
   Ответ: $15\%$.
4. Середина. $(0{,}12 + 0{,}6)/2 = 0{,}36$.
   Ответ: 0,36.
5. Бидон. Пусть бидон весит $x$ кг, молоко — $y$ кг. Система:
   $\begin{cases} x + y = 4 \\ x + 0{,}5y = 2{,}7 \end{cases} \Rightarrow 0{,}5y = 1{,}3 \Rightarrow y = 2{,}6 \Rightarrow x = 1{,}4$.
   Ответ: 1,4 кг.
6. Класс. Пусть девочек $x$, мальчиков $30 - x$:
   $7x + 5(30 - x) = 176 \Rightarrow 2x = 26 \Rightarrow x = 13$.
   Ответ: 13 девочек.
7. Поезд. Общий путь: $1000 + 500 = 1500$ м. Скорость: $60$ км/ч $= \frac{60 \cdot 1000}{3600} = 16\frac{2}{3}$ м/с. Время: $\frac{1500}{16\frac{2}{3}} = 90$ сек.
   Ответ: 90 секунд.
8. Строители. Производительность одного: $\frac{10500}{5 \cdot 7} = 300$ кирпичей/час. Время: $\frac{12000}{8 \cdot 300} = 5$ часов.
   Ответ: 5 часов.
9. Куб. Количество кубиков: $20^3 = 8000$. Длина ряда: $8000 \cdot 1$ см $= 80$ м.
   Ответ: 80 метров.
10. Колёса. Пусть длина окружности Дашиного колеса $L$, Аниного — $l$. Из условия $5L = 7l \Rightarrow L = \frac{7}{5}l$. Пройденное расстояние: $100L = 140l$. Даша: $100L = 140$ тыс. см $= 1{,}4$ км. Аня: $100l = \frac{100 \cdot 5}{7}L = \frac{500}{7} \cdot \frac{7}{5}l = 100l = 1$ км.
    Ответ: Даша — 1,4 км, Аня — 1 км.
11. Бассейн. Объём воды: $60 \cdot 40 \cdot h = 1800 \Rightarrow h = \frac{1800}{2400} = 0{,}75$ м $= 75$ см.
    Ответ: 75 см.
12. Максимум. (а) Последняя буква должна отличаться от С, Ы, Р: $33 - 3 = 30$ вариантов.
    (б) Любая из 33 букв: 33 варианта.
    Ответ: (а) 30; (б) 33.
13. Шарики. Ошибка в шарике 100 → 10 (последняя цифра 0, а не стирание).
    Ответ: Шарик 100 превратился в 10.
14. Поле. Площадь увеличивается в $\frac{150 \cdot 200}{60 \cdot 100} = 5$ раз. Удобрений: $70 \cdot 5 = 350$ кг.
    Ответ: 350 кг.
15. Проценты. Пусть в классе $100$ учеников: 40 девочек (160 конфет) и 60 мальчиков (120 конфет). Доля девочек: $\frac{160}{280} \approx 57{,}14\%$.
    Ответ: $≈57,14\%$.
16. Логика. Если сегодня Лена говорит правду, то вчера она лгала — противоречие. Если сегодня лжёт, то вчера была правдивой — возможно. Значит, Лена — лгунья.
    Ответ: Лена — лгунья.