Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

10.05.2023

Задания с пояснением решений

1. Карта. Расстояние между городами 200 км. Чему равно расстояние между их изображениями на карте, если все расстояния на карте в 4 миллиона раз меньше, чем на земле? Ответ дайте в сантиметрах.
   
   
2. Секции. В классе все дети записались в спортивные секции: 17 на плавание, 12 на борьбу и 13 на шахматы. Половина класса ходит в одну секцию, а другая половина — в две секции. Сколько учеников в классе?
   
   
3. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 40 км/ч. Затем он увеличил скорость и стал проезжать каждые 100 м на 1 секунду быстрее, чем в начале. С какой скоростью он стал ехать? Ответ дайте в километрах в час.
   
   
4. Бассейн. В бассейн длиной 100 м и шириной 15 м налили 2400 кубометров воды. На какую высоту поднялась вода в бассейне? Ответ дайте в метрах.
   
   
5. Делимость. Сколько чисел от 1 до 5000 делятся и на 7, и на 11 одновременно?
   
   
6. Минимум. Найдите наименьшее натуральное число, в записи которого нет одинаковых цифр, а сумма цифр равна 32.
   
   
7. Площадь. В центре квадрата расположен квадратик со сторонами, параллельными сторонам квадрата. Площадь креста в 25 раз больше площади квадратика. Во сколько раз площадь квадрата больше площади квадратика?
   
   
   
8. Периметр. Диагональ делит четырёхугольник с периметром 37 см на два треугольника с периметрами 16 и 33 см. Найдите длину этой диагонали.
   
   
   
9. Туннель. Поезд длиной 300 м проехал туннель длиной 1 км со скоростью 60 км/ч. Сколько времени прошло от момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля? Ответ дайте в секундах.
   
   
10. Мяч. Митя с Ваней решили купить мяч. У Мити не хватило 400 рублей, чтобы его купить, а у Вани не хватило 600 рублей. Тогда они купили один мяч на двоих, причём 1200 рублей у них ещё осталось. Сколько рублей стоил мяч?
    
    
11. Тетради. 6 тетрадей, 4 ручки и 2 карандаша стоят 610 рублей, а 3 тетради, 5 ручек и 7 карандашей стоят 470 рублей. Сколько стоит набор: тетрадь, ручка и карандаш?
    
    
12. Таблица. В каждой клетке таблицы $4 \times 4$ клеток написано одно число. Если сложить числа в каждой строке, то получатся суммы 11, 15, 18 и 20. Если сложить числа в столбцах, то получатся суммы 8, 16, 17 и (сколько?)?
    
    
13. Книга. Оле оставалось прочитать на 26 страниц больше, чем она уже прочитала от начала книги. Через час ей осталось прочитать на 28 страниц меньше, чем она уже прочитала от начала книги. Сколько страниц прочитала Оля за последний час?
    
    
14. Мосты. Каждый из 26 островов соединён мостами с тремя другими островами. Сколько всего мостов между островами?
    
    
15. Кот. С полудня до полуночи Учёный Кот спит под дубом, а с полуночи до полудня он рассказывает сказки. Табличка на дубе говорит: 4 часа назад Учёный Кот делал то, что он будет делать через 2 часа. Сколько сейчас времени?
    
    
16. Числа. По кругу расставлены цифры 1, 2, $\ldots$, 7 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех таких трёхзначных чисел и объясните, почему сумма не зависит от порядка цифр.
    
    

Решения задач

1. Карта. Расстояние между городами 200 км. На карте все расстояния в 4 миллиона раз меньше.
   Решение: Переведём 200 км в сантиметры:
   $200 \text{ км} = 200 \times 1000 \text{ м} = 200\,000 \text{ м} = 20\,000\,000 \text{ см}$.
   Расстояние на карте:
   $\frac{20\,000\,000}{4\,000\,000} = 5 \text{ см}$.
   Ответ: 5 см.
2. Секции. В классе 17 учеников на плавании, 12 на борьбе, 13 на шахматах. Половина класса ходит в одну секцию, половина — в две.
   Решение: Общее количество записей: $17 + 12 + 13 = 42$.
   Пусть в классе $N$ учеников. Тогда:
   $\frac{N}{2} \cdot 1 + \frac{N}{2} \cdot 2 = 42 \Rightarrow \frac{3N}{2} = 42 \Rightarrow N = 28$.
   Ответ: 28.
3. Скорость. Автомобиль ехал 40 км/ч, затем увеличил скорость.
   Решение: Время проезда 100 м при 40 км/ч:
   $t_1 = \frac{0,1 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 0,0025 \text{ ч} = 9 \text{ сек}$.
   Новое время: $9 - 1 = 8 \text{ сек}$.
   Новая скорость:
   $v = \frac{0,1 \text{ км}}{8/3600 \text{ ч}} = 45 \text{ км/ч}$.
   Ответ: 45 км/ч.
4. Бассейн. Объём воды 2400 м³, размеры бассейна 100 м × 15 м.
   Решение: Высота воды:
   $h = \frac{2400}{100 \times 15} = 1,6 \text{ м}$.
   Ответ: 1,6 м.
5. Делимость. Числа, делящиеся на 7 и 11 одновременно — кратные 77.
   Решение:
   $\left\lfloor \frac{5000}{77} \right\rfloor = 64$.
   Ответ: 64.
6. Минимум. Наименьшее число с суммой цифр 32 без повторений.
   Решение: Минимальное 5-значное число: 26789 (2+6+7+8+9=32).
   Ответ: 26789.
7. Площадь. Площадь креста в 25 раз больше квадратика.
   Решение: Крест состоит из 5 квадратиков. Площадь квадрата: $5 \times 5 = 25$ квадратиков.
   Ответ: 25.
8. Периметр. Периметр четырёхугольника 37 см, сумма периметров треугольников 49 см.
   Решение: Диагональ:
   $\frac{49 - 37}{2} = 6 \text{ см}$.
   Ответ: 6 см.
9. Туннель. Длина поезда 300 м, туннеля 1 км, скорость 60 км/ч.
   Решение: Общий путь: $1000 + 300 = 1300 \text{ м} = 1,3 \text{ км}$.
   Время:
   $t = \frac{1,3}{60} \times 3600 = 78 \text{ сек}$.
   Ответ: 78 сек.
10. Мяч. У Мити не хватило 400 руб., у Вани — 600 руб. Осталось 1200 руб.
    Решение: Пусть цена мяча $x$:
    $(x - 400) + (x - 600) = x + 1200 \Rightarrow x = 2200$.
    Ответ: 2200 руб.
11. Тетради. Система уравнений:
    $\begin{cases} 6т + 4р + 2к = 610 \\ 3т + 5р + 7к = 470 \end{cases}$
    Сложение уравнений:
    $9т + 9р + 9к = 1080 \Rightarrow т + р + к = 120$.
    Ответ: 120 руб.
12. Таблица. Сумма всех чисел: $11 + 15 + 18 + 20 = 64$.
    Решение: Четвёртый столбец:
    $64 - (8 + 16 + 17) = 23$.
    Ответ: 23.
13. Книга. Пусть прочитала $x$ страниц, осталось $x + 26$. После часа осталось $x + y + 28 = (x + y) - 28$.
    Решение:
    $x + 26 - y = x + y - 28 \Rightarrow y = 27$.
    Ответ: 27.
14. Мосты. 26 островов, каждый соединён 3 мостами.
    Решение: Общее количество мостов:
    $\frac{26 \times 3}{2} = 39$.
    Ответ: 39.
15. Кот. Сейчас время, когда действие через 2 часа совпадает с действием 4 часа назад.
    Решение: Сейчас 20:00 (8 вечера). Через 2 часа — 22:00 (спит), 4 часа назад — 16:00 (спал).
    Ответ: 20 часов.
16. Числа. Сумма трёхзначных чисел по кругу.
    Решение: Каждая цифра участвует в трёх разрядах:
    $(1+2+3+4+5+6+7) \times 111 = 28 \times 111 = 3108$.
    Ответ: 3108.