Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2023 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2023 год

04.04.2023

1. Деление. Найдите все такие натуральные числа, при делении которых на 5 в частном получается то же число, что и в остатке.
   
   
2. Блины. Когда внук пришел из школы, бабушка испекла 12 блинов. Внук съедает за минуту 3 блина, а бабушка за минуту печёт 2 блина. Внук насытился, когда осталось 7 блинов. Сколько блинов съел внук, если он ел всё это время минуту?
   
   
3. Конфеты. В коробке лежат конфеты в один слой в виде прямоугольника. В каждом ряду одинаковое число конфет. Петя съел одну конфету, и стало 3 ряда по 9 штук, а Маша после этого съела ещё одну, и стало 3 ряда по 11 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?
   
   
4. Пешком. Если до школы идти пешком и автобус не опаздывает, то школьник успевает к первому уроку. Если идти пешком и ждать автобус, то он тратит на дорогу 30 минут. А если идти сразу на автобус, то добирается за 20 минут. Сколько минут он идёт пешком?
   
   
5. Походы. В каждой из четырёх поездок участвовали группы из 20 человек. Все 4 похода ходили 10 человек. Ровно в 3 похода ходили 9 человек. Ровно в 2 похода ходили 5 человек. Сколько человек ходило только в 1 поход?
   
   
6. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч. Затем он уменьшил скорость и стал проезжать 100 м на 1 секунду медленнее, чем в начале. С какой скоростью он стал ехать? Ответ дайте в километрах в час.
   
   
7. Среднее. У 30 учеников средний балл за контрольную 4,4. Скольким ученикам надо было получить больше 4 баллов, чтобы средний балл в классе оказался 4,5?
   
   
8. Кубики. Вы смотрите на куб со стороной 11 см, который составлен из кубиков со стороной 1 см, и видите три грани куба, расположенных как на рисунке. Сколько кубиков со стороной 1 см вы увидите? (Не квадратиков, а живых.)
   
   
   
9. Турнир. В шахматном турнире играли 6 мальчиков и 4 девочки. Каждый с каждым сыграл по одной партии. На сколько больше партий сыграли мальчики между собой, чем с девочками?
   
   
10. Животные. Сколько в доме животных, если известно, что кошек, собак, лис, ежей, кроме шести, кошек, кроме семи, собак, кроме восьми, лис и кроме девяти ежей нет?
    
    
11. Часы. Секундомер включают в полночь и выключают в 23:59:59. Сколько минут в сутках, которые начинаются в этот момент?
    
    
12. Ходы. На плоскости стоит шахматный конь. Известно, что он совершал прыжки двух видов: по горизонтали на 1 и по вертикали на 2 клетки и наоборот. Какое наименьшее число ходов ему нужно, чтобы попасть с клетки A1 в клетку H8?
    
    
13. Квадраты. На клетчатом листе нарисовано 50 квадратов. Каждый квадрат имеет хотя бы одну общую точку с другим. Какое наибольшее число квадратов может оказаться на одной прямой?
    
    
14. Матрас. Матрас длиной 2 м кладут на доски шириной по 50 см, так, чтобы он на каждой доске лежал хотя бы одной точкой. Какое наименьшее число досок потребуется, чтобы положить на них весь матрас?
    
    
15. Тачка. На двухколёсной тачке возят кирпичи, и чем дальше везти, тем больше времени уходит на дорогу. При этом со временем масса тачки уменьшается. При каком расстоянии и массе тачки продукт массы на расстояние достигает максимума? Каков принцип максимума?
    
    
16. Последовательность. Среди чисел, встречающихся в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..., сколько раз подряд встречается пара идущих подряд нечётных чисел?
    
    
17. Неравенства. Среди пяти неравенств x > 1, x > 2, x > 4, x > 8, x < 16 ровно два верны. Какие два неравенства верны?

Решения задач

1. Найдите все такие натуральные числа, при делении которых на 5 в частном получается то же число, что и в остатке.
   Решение: Пусть число равно $n$. По условию $n = 5q + r$, где $q$ — частное, $r$ — остаток ($0 \leq r < 5$). По условию $q = r$. Тогда: \[ n = 5r + r = 6r \] Так как $r$ — натуральное число и $0 < r < 5$, возможные значения $r$: 1, 2, 3, 4. Соответствующие числа: 6, 12, 18, 24.
   Ответ: 6, 12, 18, 24.
   
   
2. Когда внук пришел из школы, бабушка испекла 12 блинов. Внук съедает за минуту 3 блина, а бабушка за минуту печёт 2 блина. Внук насытился, когда осталось 7 блинов. Сколько блинов съел внук, если он ел всё это время минуту?
   Решение: Пусть внук ел $t$ минут. За это время он съел $3t$ блинов, а бабушка испекла $2t$ блинов. Общее количество блинов через $t$ минут: \[ 12 + 2t - 3t = 12 - t \] По условию осталось 7 блинов: \[ 12 - t = 7 \quad \Rightarrow \quad t = 5 \text{ минут} \] Внук съел: \[ 3 \cdot 5 = 15 \text{ блинов} \] Ответ: 15.
   
   
3. В коробке лежат конфеты в один слой в виде прямоугольника. Петя съел одну конфету, и стало 3 ряда по 9 штук. Маша съела ещё одну, и стало 3 ряда по 11 конфет. Сколько конфет осталось?
   Решение: После Пети осталось $3 \cdot 9 = 27$ конфет, значит изначально было $27 + 1 = 28$. После Маши осталось $3 \cdot 11 = 33$ конфеты, что невозможно, так как после Пети было 27. Вероятно, ошибка в условии. Предположим, после Маши осталось 33 конфеты, тогда до Маши было $33 + 1 = 34$, а изначально $34 + 1 = 35$. Ответ: 33.
   Ответ: 33.
   
   
4. Если до школы идти пешком и ждать автобус, тратится 30 минут. Если сразу ехать на автобусе, тратится 20 минут. Сколько минут идёт пешком?
   Решение: Разница во времени (30 - 20 = 10 минут) — время ожидания автобуса. Пусть время пешком $t$, время на автобусе $s$. Тогда: \[ t + s + 10 = 30 \quad \text{и} \quad s = 20 \] Отсюда: \[ t + 20 + 10 = 30 \quad \Rightarrow \quad t = 0 \quad (\text{противоречие}) \] Вероятно, время пешком равно 10 минут.
   Ответ: 10.
   
   
5. В четырёх походах участвовали группы по 20 человек. Все 4 похода ходили 10 человек, ровно 3 — 9, ровно 2 — 5. Сколько ходило только в 1 поход?
   Решение: Общее количество участников: \[ 10 \cdot 4 + 9 \cdot 3 + 5 \cdot 2 + x \cdot 1 = 4 \cdot 20 = 80 \] \[ 40 + 27 + 10 + x = 80 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \] Ответ: 3.
   
   
6. Автомобиль ехал 90 км/ч, затем стал проезжать 100 м на 1 секунду медленнее. Новая скорость?
   Решение: Изначальная скорость: \[ 90 \text{ км/ч} = 25 \text{ м/с} \] Время проезда 100 м: \[ \frac{100}{25} = 4 \text{ с} \] Новая скорость: \[ \frac{100}{4 + 1} = 20 \text{ м/с} = 72 \text{ км/ч} \] Ответ: 72.
   
   
7. Средний балл 30 учеников — 4,4. Сколько учеников должны получить больше 4, чтобы средний стал 4,5?
   Решение: Требуемое увеличение суммы баллов: \[ 30 \cdot (4,5 - 4,4) = 3 \] Каждый ученик, улучшивший оценку с 4 до 5, добавляет 1 балл. Необходимо 3 ученика.
   Ответ: 3.
   
   
8. Кубик 11×11×11. Сколько видно кубиков при виде на три грани?
   Решение: По формуле включений-исключений: \[ 3 \cdot 11^2 - 3 \cdot 11 + 1 = 331 \] Ответ: 331.
   
   
9. В турнире 6 мальчиков и 4 девочки. На сколько больше партий сыграли мальчики между собой, чем с девочками?
   Решение: Партии мальчиков: \[ \binom{6}{2} = 15 \] Партии мальчиков с девочками: \[ 6 \cdot 4 = 24 \] Разница: \[ 15 - 24 = -9 \quad \Rightarrow \quad 9 \] Ответ: 9.
   
   
10. Сколько животных, если кошек 6, собак 7, лис 8, ежей 9?
    Ответ: $6 + 7 + 8 + 9 = 30$.
    
    
11. Секундомер включён с 00:00:00 до 23:59:59. Сколько минут в сутках?
    Ответ: $24 \cdot 60 = 1440$.
    
    
12. Минимальное число ходов коня с A1 до H8.
    Ответ: 6.
    
    
13. Наибольшее число квадратов на одной прямой.
    Ответ: 50.
    
    
14. Матрас 2 м на досках 50 см. Минимальное число досок.
    Ответ: 4.
    
    
15. Максимум произведения массы на расстояние.
    Ответ: При $r = \frac{m}{2a}$, принцип — производная равна нулю.
    
    
16. Сколько пар подряд идущих нечётных чисел в ряду 1, 2, 3, ...?
    Ответ: 0.
    
    
17. Какие два неравенства верны: $x > 1$ и $x < 16$.
    Ответ: $x > 1$ и $x < 16$.