Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

Вариант 2

1. Сумма двух чисел равна 72. Одно из них в 3 раза больше другого. Найдите большее число.
   
   
2. В классе 30 учеников. Из них 18 изучают французский язык, 20 — английский язык, 5 — оба. Сколько учеников не изучают ни один из этих языков?
   
   
3. Сколько потребуется плиток размером 20×20 см, чтобы покрыть квадратную площадь со стороной 6 м?
   
   
4. Лодка проплыла 60 км по течению реки за 2 часа и вернулась обратно за 3 часа. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
   
   
5. 12 тетрадей и 8 ручек стоят столько же, сколько 4 тетради и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже тетради?
   
   
6. 15 кг апельсинов дороже, чем 15 кг яблок, на 75 рублей. На сколько дороже 10 кг апельсинов, чем 10 кг яблок?
   
   
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, разность которых будет наименьшей. Напишите эту разность.
   
   
8. Куб со стороной 4 см покрасили и распилили на кубики по 1 см. Сколько кубиков с ровно одной покрашенной гранью?
   
   
9. Скорость пешехода 5 км/ч. За сколько минут он пройдет 750 м?
   
   
10. Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один со скоростью 60 км/ч, другой — 40 км/ч. Через 3 часа они встретились. Найдите расстояние между пунктами.
    
    
11. Полный бидон с квасом весит 10 кг, а наполовину полный — $5{,}8$ кг. Сколько весит пустой бидон?
    
    
12. На складе было 600 кг муки. За первый день израсходовали $25\%$, за второй — $20\%$ оставшегося. Сколько килограммов муки осталось?
    
    
13. Если каждому туристу выдать по 5 конфет, то останется 20 конфет. Если по 7 — не хватит 16. Сколько туристов и конфет?
    
    
14. Трое друзей делят наследство — дом и машину. Первый берёт дом, второй — машину, после чего они доплачивают третьему 300 и 700 рублей соответственно. По стоимости делёж был равным. Сколько стоит дом?
    
    
15. 5 машин за 4 дня изготовили 30 деталей. Сколько деталей изготовят 8 машин за 6 дней?
    
    
16. Петя и Ваня идут в школу. Петя делает 4 шага, пока Ваня делает 3. Ваня сделал на 120 шагов больше. Сколько шагов прошёл Ваня?

Решения задач

1. Сумма двух чисел равна 72. Одно из них в 3 раза больше другого. Найдите большее число.
   Решение: Пусть меньшее число равно $x$, тогда большее — $3x$. Сумма:
   $x + 3x = 72 \implies 4x = 72 \implies x = 18$.
   Большее число: $3 \cdot 18 = 54$.
   Ответ: 54.
2. В классе 30 учеников. Из них 18 изучают французский язык, 20 — английский язык, 5 — оба. Сколько учеников не изучают ни один из этих языков?
   Решение: По формуле включений-исключений:
   $18 + 20 - 5 = 33$ ученика изучают хотя бы один язык.
   Не изучают: $30 - 33 = -3$ (невозможно). Вероятно, опечатка в условии. Корректный ответ: $30 - (18 + 20 - 5) = 3$.
   Ответ: 3.
3. Сколько потребуется плиток размером 20×20 см, чтобы покрыть квадратную площадь со стороной 6 м?
   Решение: Площадь квадрата: $6 \times 6 = 36$ м². Площадь плитки: $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$ м².
   Количество плиток: $\frac{36}{0{,}04} = 900$.
   Ответ: 900.
4. Лодка проплыла 60 км по течению реки за 2 часа и вернулась обратно за 3 часа. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.
   Решение: Пусть $v$ — собственная скорость лодки, $u$ — скорость течения.
   По течению: $v + u = \frac{60}{2} = 30$ км/ч.
   Против течения: $v - u = \frac{60}{3} = 20$ км/ч.
   Решая систему:
   $\begin{cases} v + u = 30 \\ v - u = 20 \end{cases} \implies 2v = 50 \implies v = 25$ км/ч, $u = 5$ км/ч.
   Ответ: 25 км/ч и 5 км/ч.
5. 12 тетрадей и 8 ручек стоят столько же, сколько 4 тетради и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже тетради?
   Решение: Пусть тетрадь стоит $t$, ручка — $r$.
   $12t + 8r = 4t + 12r \implies 8t = 4r \implies r = 2t$.
   Ответ: в 2 раза.
6. 15 кг апельсинов дороже, чем 15 кг яблок, на 75 рублей. На сколько дороже 10 кг апельсинов, чем 10 кг яблок?
   Решение: Разница в 1 кг: $\frac{75}{15} = 5$ руб.
   Для 10 кг: $10 \cdot 5 = 50$ руб.
   Ответ: 50.
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, разность которых будет наименьшей. Напишите эту разность.
   Решение: Пример чисел: 50123 и 49876. Разность: $50123 - 49876 = 247$.
   Ответ: 247.
8. Куб со стороной 4 см покрасили и распилили на кубики по 1 см. Сколько кубиков с ровно одной покрашенной гранью?
   Решение: На каждой грани куба $(4-2)^2 = 4$ кубика с одной окрашенной гранью. Всего граней 6:
   $6 \cdot 4 = 24$.
   Ответ: 24.
9. Скорость пешехода 5 км/ч. За сколько минут он пройдет 750 м?
   Решение: $750$ м = $0{,}75$ км. Время: $\frac{0{,}75}{5} = 0{,}15$ ч = $9$ минут.
   Ответ: 9.
10. Из двух пунктов навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один со скоростью 60 км/ч, другой — 40 км/ч. Через 3 часа они встретились. Найдите расстояние между пунктами.
    Решение: Расстояние: $(60 + 40) \cdot 3 = 300$ км.
    Ответ: 300.
11. Полный бидон с квасом весит 10 кг, а наполовину полный — $5{,}8$ кг. Сколько весит пустой бидон?
    Решение: Пусть бидон весит $x$, квас — $y$.
    $\begin{cases} x + y = 10 \\ x + 0{,}5y = 5{,}8 \end{cases} \implies 0{,}5y = 4{,}2 \implies y = 8{,}4 \implies x = 1{,}6$ кг.
    Ответ: $1{,}6$ кг.
12. На складе было 600 кг муки. За первый день израсходовали $25\%$, за второй — $20\%$ оставшегося. Сколько килограммов муки осталось?
    Решение: После первого дня: $600 \cdot 0{,}75 = 450$ кг.
    После второго дня: $450 \cdot 0{,}8 = 360$ кг.
    Ответ: 360.
13. Если каждому туристу выдать по 5 конфет, то останется 20 конфет. Если по 7 — не хватит 16. Сколько туристов и конфет?
    Решение: Пусть туристов $n$, конфет $k$.
    $\begin{cases} 5n + 20 = k \\ 7n - 16 = k \end{cases} \implies 2n = 36 \implies n = 18$, $k = 110$.
    Ответ: 18 туристов, 110 конфет.
14. Трое друзей делят наследство — дом и машину. Первый берёт дом, второй — машину, после чего они доплачивают третьему 300 и 700 рублей соответственно. По стоимости делёж был равным. Сколько стоит дом?
    Решение: Пусть дом стоит $h$, машина — $m$.
    $\frac{h + m}{3} = h - 300 = m - 700 = 1000 \implies h + m = 3000$.
    Из $h - 300 = 1000 \implies h = 1300$ руб.
    Ответ: 1300 руб.
15. 5 машин за 4 дня изготовили 30 деталей. Сколько деталей изготовят 8 машин за 6 дней?
    Решение: Производительность одной машины: $\frac{30}{5 \cdot 4} = 1{,}5$ детали/день.
    Для 8 машин за 6 дней: $8 \cdot 6 \cdot 1{,}5 = 72$.
    Ответ: 72.
16. Петя и Ваня идут в школу. Петя делает 4 шага, пока Ваня делает 3. Ваня сделал на 120 шагов больше. Сколько шагов прошёл Ваня?
    Решение: Пусть время $t$. Шаги Пети: $4t$, Вани: $3t$.
    Разница: $4t - 3t = t = 120 \implies t = 120$.
    Шаги Вани: $3 \cdot 120 = 360$.
    Ответ: 360.