Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

Вариант 1

1. Задумали число, умножили его на 6, затем прибавили 10, результат разделили на 5 и получили 44. Какое число задумали?
   
   
2. В коробе 100 шоколадных конфет. Из них 60 содержат карамель, 50 содержат кокос, а 20 — и то, и другое. Сколько конфет не содержат ни карамели, ни кокоса?
   
   
3. Верёвку длиной $10{,}8$ м разрезали на равные части длиной по $0{,}15$ м. Сколько частей получилось?
   
   
4. Скорость лодки в стоячей воде 14 км/ч, а скорость реки 2 км/ч. Лодка проплыла 24 км по течению, а затем вернулась обратно. Сколько часов затратила лодка на весь путь?
   
   
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   
   
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок, на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
   
   
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
   
   
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани?
   
   
9. Скорость велосипедиста 15 км/ч. За сколько секунд он проедет 150 м?
   
   
10. Вдоль шоссе стоят километровые столбы. Два автомобиля едут навстречу друг другу: один от столба №15 со скоростью 40 км/ч, другой от столба №114 со скоростью 50 км/ч. Возле какого столба они встретятся?
    
    
11. Полный бидон с молоком весит 8 кг, а тот же бидон, заполненный наполовину, весит $4{,}8$ кг. Сколько кг весит пустой бидон?
    
    
12. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м? (Плитки укладываются вплотную.)
    
    
13. Туристам в походе стали раздавать конфеты. Если раздать по 9 конфет, то 5 не хватит, а если по 8 — то 5 останутся лишними. Сколько было туристов и конфет?
    
    
14. Трое братьев делили поровну наследство — дом и мельницу. Первый взял дом, второй — мельницу, затем первый дал третьему 200 руб., а второй — 400 руб. По стоимости наследство поделили поровну. Сколько стоил дом?
    
    
15. 3 робота за 3 часа собирают 10 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 9 роботов за 9 часов?
    
    
16. Мама и сын идут рядом в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 4. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?

Решения задач

1. Задумали число, умножили его на 6, затем прибавили 10, результат разделили на 5 и получили 44. Какое число задумали?
   Решение: Пусть задуманное число — $x$. Составим уравнение:
   $\frac{6x + 10}{5} = 44$
   $6x + 10 = 220$
   $6x = 210$
   $x = 35$
   Ответ: 35.
   
   
2. В коробе 100 шоколадных конфет. Из них 60 содержат карамель, 50 содержат кокос, а 20 — и то, и другое. Сколько конфет не содержат ни карамели, ни кокоса?
   Решение: По формуле включений-исключений:
   $60 + 50 - 20 = 90$ (конфет с карамелью или кокосом)
   $100 - 90 = 10$ (конфет без добавок)
   Ответ: 10.
   
   
3. Верёвку длиной $10{,}8$ м разрезали на равные части длиной по $0{,}15$ м. Сколько частей получилось?
   Решение:
   $\frac{10{,}8}{0{,}15} = 72$ (части)
   Ответ: 72.
   
   
4. Скорость лодки в стоячей воде 14 км/ч, а скорость реки 2 км/ч. Лодка проплыла 24 км по течению, а затем вернулась обратно. Сколько часов затратила лодка на весь путь?
   Решение:
   По течению: $\frac{24}{14 + 2} = 1{,}5$ ч
   Против течения: $\frac{24}{14 - 2} = 2$ ч
   Всего: $1{,}5 + 2 = 3{,}5$ ч
   Ответ: $3{,}5$.
   
   
5. 18 карандашей и 9 ручек стоят столько же, сколько 6 карандашей и 12 ручек. Во сколько раз ручка дороже карандаша?
   Решение: Пусть карандаш стоит $k$, ручка — $r$:
   $18k + 9r = 6k + 12r$
   $12k = 3r \quad \Rightarrow \quad 4k = r$
   Ответ: в 4 раза.
   
   
6. 10 кг груш дороже, чем 10 кг яблок, на 45 рублей. На сколько дороже 8 кг груш, чем 8 кг яблок?
   Решение: Разница в 1 кг: $\frac{45}{10} = 4{,}5$ руб.
   Для 8 кг: $8 \cdot 4{,}5 = 36$ руб.
   Ответ: 36.
   
   
7. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте два пятизначных числа, сумма которых будет наименьшей. Напишите сумму этих чисел.
   Решение: Наименьшие возможные числа: 10234 и 56789. Сумма:
   $10234 + 56789 = 67023$
   Ответ: 67023.
   
   
8. Куб высотой 6 см покрасили целиком, а потом распилили на кубики высотой 1 см. Сколько получилось кубиков, у которых ровно две покрашенные грани?
   Решение: Кубики с двумя гранями находятся на рёбрах, исключая углы. У куба 12 рёбер, на каждом ребре $6 - 2 = 4$ кубика:
   $12 \cdot 4 = 48$
   Ответ: 48.
   
   
9. Скорость велосипедиста 15 км/ч. За сколько секунд он проедет 150 м?
   Решение:
   $15$ км/ч $= \frac{15000}{3600} = 4{,}1667$ м/с
   Время: $\frac{150}{4{,}1667} \approx 36$ сек
   Ответ: 36.
   
   
10. Вдоль шоссе стоят километровые столбы. Два автомобиля едут навстречу друг другу: один от столба №15 со скоростью 40 км/ч, другой от столба №114 со скоростью 50 км/ч. Возле какого столба они встретятся?
    Решение: Расстояние между столбами: $114 - 15 = 99$ км. Время встречи:
    $\frac{99}{40 + 50} = 1{,}1$ ч
    Первый автомобиль проедет: $40 \cdot 1{,}1 = 44$ км
    Столб встречи: $15 + 44 = 59$
    Ответ: 59.
    
    
11. Полный бидон с молоком весит 8 кг, а тот же бидон, заполненный наполовину, весит $4{,}8$ кг. Сколько кг весит пустой бидон?
    Решение: Пусть бидон — $x$, молоко — $y$:
    $\begin{cases} x + y = 8 \\ x + 0{,}5y = 4{,}8 \end{cases}$
    Вычитаем: $0{,}5y = 3{,}2 \quad \Rightarrow \quad y = 6{,}4$
    $x = 8 - 6{,}4 = 1{,}6$
    Ответ: $1{,}6$.
    
    
12. Сколько квадратных плиток со стороной 20 см понадобится, чтобы выложить квадратную площадь со стороной 60 м?
    Решение: Площадь квадрата: $60 \times 60 = 3600$ м². Площадь плитки: $0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}04$ м². Количество:
    $\frac{3600}{0{,}04} = 90000$
    Ответ: 90000.
    
    
13. Туристам в походе стали раздавать конфеты. Если раздать по 9 конфет, то 5 не хватит, а если по 8 — то 5 останутся лишними. Сколько было туристов и конфет?
    Решение: Пусть туристов $x$, конфет $y$:
    $\begin{cases} 9x = y + 5 \\ 8x = y - 5 \end{cases}$
    Вычитаем: $x = 10$, $y = 85$
    Ответ: 10 туристов, 85 конфет.
    
    
14. Трое братьев делили поровну наследство — дом и мельницу. Первый взял дом, второй — мельницу, затем первый дал третьему 200 руб., а второй — 400 руб. По стоимости наследство поделили поровну. Сколько стоил дом?
    Решение: Пусть дом — $h$, мельница — $m$:
    $\frac{h + m}{3} = h - 200 = m - 400$
    $\begin{cases} 3h - 600 = h + m \\ 3m - 1200 = h + m \end{cases}$
    Решение: $h = 800$ руб.
    Ответ: 800.
    
    
15. 3 робота за 3 часа собирают 10 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 9 роботов за 9 часов?
    Решение: Производительность: $\frac{10}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}$ комп./робот/час
    Всего: $\frac{10}{9} \cdot 9 \cdot 9 = 81$
    Ответ: 81.
    
    
16. Мама и сын идут рядом в школу. Пока мама делает 3 шага, сын делает 4. Сын прошёл на 300 шагов больше, чем мама. Сколько шагов до школы прошёл сын?
    Решение: Пусть мама сделала $x$ шагов, сын — $x + 300$:
    $\frac{x}{3} = \frac{x + 300}{4} \quad \Rightarrow \quad x = 900$
    Сын: $900 + 300 = 1200$
    Ответ: 1200.