Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

19.04.2022

1. Бег. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки кругового маршрута в одном направлении. Первый бегун делает полный круг за 6 минут, второй — за 9 минут. Через сколько минут первый бегун снова встретит второго?
   
   
2. Между. Приведите пример дроби, которая больше 0,3 и меньше 0,31.
   
   
3. Доля. Сколько процентов составляет 0,21 от 1,4?
   
   
4. Середина. На числовой прямой отмечены точки \( A(0,12) \) и \( B(0,6) \). Какому числу соответствует середина отрезка \( AB \)?
   
   
5. Бидон. Полный бидон с молоком весит 4 кг, а тот же бидон, заполненный молоком наполовину, весит 2,7 кг. Сколько килограммов весит бидон без молока?
   
   
6. Класс. В классе 34 ученика. Каждой девочке дали 7 конфет, а каждому мальчику — 5 конфет. Всего дали 196 конфет. Сколько в классе девочек?
   
   
7. Поезд. Поезд длиной 500 м проехал туннель длиной 1 км со скоростью 60 км/ч. Сколько секунд прошло с момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля?
   
   
8. Строители. Бригада маляров красит за 6 часов 1200 квадратных метров кирпичной стены. За сколько часов покрасят ту же стену 4 маляра, если все строители работают с одинаковой скоростью?
   
   
9. Куб. Куб с ребром 20 см сложили из кубиков с ребром 1 см, а затем выложили эти кубики в один ряд. Какой длины получился этот ряд (в метрах)? Внутри куба пустот нет.
   
   
10. Колёса. Даша и Аня ехали рядом на самокатах. У Дашиного самоката колёса побольше, поэтому на каждые 5 оборотов её колеса Анино колесо делает 7 оборотов. Когда закончилась прогулка, то переднее колесо Аниного самоката сделало на 1000 оборотов больше, чем Дашино. Сколько оборотов сделало переднее колесо каждого самоката?
    
    
11. Бассейн. В бассейне длиной 60 м и шириной 20 м налили 1800 кубометров воды. Какой высоты (в метрах) вода в бассейне?
    
    
12. Максимум. Замените в ребусе ЧАЙ + СЫР + МЁД буквы цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма была наибольшей. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. В ответе напишите сумму этих трёх чисел.
    
    
13. Ошибка. Ученик случайно записал число 103 вместо 130, набирая его на клавиатуре, и случайно нажал в конце лишний ноль (один из чисел получился в 10 раз больше). Поэтому вместо 133 он получил 1030. В каком месте он допустил ошибку?
    
    
14. Удобрения. На поле размером 50 м на 40 м нужно внести 70 кг удобрений. Сколько килограммов удобрений понадобится для поля размером 150 м на 200 м?
    
    
15. Совпадения. Лена задумала трёхзначное число. Миша назвал три трёхзначных числа: 544, 774, 575. Оказалось, что задуманное число два раза совпало с двумя разными числами в одной цифре и не совпало в двух других. Какое число задумала Лена?
    
    
16. Деление. Число из 5...5 (всего написано 90 пятёрок) поделили на число 55...5 (всего написано 9 пятёрок). Сколько цифр получилось в частном?

Решения задач

1. Бег. Два бегуна одновременно стартовали из одной точки кругового маршрута в одном направлении. Первый бегун делает полный круг за 6 минут, второй — за 9 минут. Через сколько минут первый бегун снова встретит второго?
   Решение: Скорость первого бегуна $\frac{1}{6}$ круга в минуту, второго — $\frac{1}{9}$ круга в минуту. Разница скоростей: $\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$ круга в минуту. Чтобы первый догнал второго, он должен преодолеть разницу в 1 круг. Время встречи: $\frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ минут.
   Ответ: 18.
   
   
2. Между. Приведите пример дроби, которая больше 0,3 и меньше 0,31.
   Решение: Среднее арифметическое чисел 0,3 и 0,31: $\frac{0,3 + 0,31}{2} = 0,305$. Пример дроби: $\frac{61}{200} = 0,305$.
   Ответ: $\frac{61}{200}$ (или другая дробь в интервале, например, 0,305).
   
   
3. Доля. Сколько процентов составляет 0,21 от 1,4?
   Решение: $\frac{0,21}{1,4} \cdot 100% = 15\%$.
   Ответ: 15\%.
   
   
4. Середина. На числовой прямой отмечены точки \( A(0,12) \) и \( B(0,6) \). Какому числу соответствует середина отрезка \( AB \)?
   Решение: Середина отрезка: $\frac{0,12 + 0,6}{2} = 0,36$.
   Ответ: 0,36.
   
   
5. Бидон. Полный бидон с молоком весит 4 кг, а тот же бидон, заполненный молоком наполовину, весит 2,7 кг. Сколько килограммов весит бидон без молока?
   Решение: Пусть масса бидона — \( x \), масса молока в полном бидоне — \( y \). Система уравнений: \[ \begin{cases} x + y = 4 \\ x + \frac{y}{2} = 2,7 \end{cases} \] Вычитаем второе уравнение из первого: $\frac{y}{2} = 1,3 \Rightarrow y = 2,6$ кг. Тогда \( x = 4 - 2,6 = 1,4 \) кг.
   Ответ: 1,4 кг.
   
   
6. Класс. В классе 34 ученика. Каждой девочке дали 7 конфет, а каждому мальчику — 5 конфет. Всего дали 196 конфет. Сколько в классе девочек?
   Решение: Пусть девочек — \( d \), мальчиков — \( m \). Система: \[ \begin{cases} d + m = 34 \\ 7d + 5m = 196 \end{cases} \] Подставляем \( m = 34 - d \): \( 7d + 5(34 - d) = 196 \Rightarrow 2d = 26 \Rightarrow d = 13 \).
   Ответ: 13.
   
   
7. Поезд. Поезд длиной 500 м проехал туннель длиной 1 км со скоростью 60 км/ч. Сколько секунд прошло с момента, когда голова поезда въехала в туннель, до момента, когда хвост поезда выехал из туннеля?
   Решение: Общий путь: \( 1000 + 500 = 1500 \) м. Скорость \( 60 \) км/ч \( = \frac{60 \cdot 1000}{3600} = \frac{50}{3} \) м/с. Время: \( \frac{1500}{\frac{50}{3}} = 90 \) секунд.
   Ответ: 90.
   
   
8. Строители. Бригада маляров красит за 6 часов 1200 квадратных метров кирпичной стены. За сколько часов покрасят ту же стену 4 маляра, если все строители работают с одинаковой скоростью?
   Решение: Производительность бригады: \( \frac{1200}{6} = 200 \) м²/ч. Если бригада — 1 маляр, то 4 маляра покрасят за \( \frac{6}{4} = 1,5 \) часа.
   Ответ: 1,5 часа.
   
   
9. Куб. Куб с ребром 20 см сложили из кубиков с ребром 1 см, а затем выложили эти кубики в один ряд. Какой длины получился этот ряд (в метрах)?
   Решение: Количество кубиков: \( 20^3 = 8000 \). Длина ряда: \( 8000 \cdot 1 \) см \( = 80 \) м.
   Ответ: 80.
   
   
10. Колёса. Даша и Аня ехали рядом на самокатах. У Дашиного самоката колёса побольше, поэтому на каждые 5 оборотов её колеса Анино колесо делает 7 оборотов. Когда закончилась прогулка, то переднее колесо Анино самоката сделало на 1000 оборотов больше, чем Дашино. Сколько оборотов сделало переднее колесо каждого самоката?
    Решение: Пусть Даша сделала \( x \) оборотов. Тогда Аня: \( \frac{7}{5}x \). Разница: \( \frac{7}{5}x - x = \frac{2}{5}x = 1000 \Rightarrow x = 2500 \). Аня: \( 2500 + 1000 = 3500 \).
    Ответ: Даша — 2500, Аня — 3500.
    
    
11. Бассейн. В бассейне длиной 60 м и шириной 20 м налили 1800 кубометров воды. Какой высоты (в метрах) вода в бассейне?
    Решение: Объём \( = 60 \cdot 20 \cdot h = 1800 \Rightarrow h = \frac{1800}{1200} = 1,5 \).
    Ответ: 1,5.
    
    
12. Максимум. Замените в ребусе ЧАЙ + СЫР + МЁД буквы цифрами 1,2,3,4,5,6,7,8,9 так, чтобы сумма была наибольшей. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. В ответе напишите сумму этих трёх чисел.
    Решение: Максимизируем старшие разряды: Ч=9, С=8, М=7. Далее А=6, Ы=5, Ё=4. Й=3, Р=2, Д=1. Сумма: \( 963 + 852 + 741 = 2556 \).
    Ответ: 2556.
    
    
13. Ошибка. Ученик случайно записал число 103 вместо 130, набирая его на клавиатуре, и случайно нажал в конце лишний ноль (один из чисел получился в 10 раз больше). Поэтому вместо 133 он получил 1030. В каком месте он допустил ошибку?
    Решение: Вместо правильного числа 130 ученик набрал 103 и добавил лишний ноль, получив 1030. Ошибка в перестановке цифр 3 и 0 в числе 130.
    Ответ: Перепутал цифры 3 и 0 в числе 130.
    
    
14. Удобрения. На поле размером 50 м на 40 м нужно внести 70 кг удобрений. Сколько килограммов удобрений понадобится для поля размером 150 м на 200 м?
    Решение: Площадь первого поля: \( 50 \cdot 40 = 2000 \) м². Площадь второго: \( 150 \cdot 200 = 30000 \) м². Коэффициент: \( \frac{30000}{2000} = 15 \). Удобрений: \( 70 \cdot 15 = 1050 \) кг.
    Ответ: 1050.
    
    
15. Совпадения. Лена задумала трёхзначное число. Миша назвал три трёхзначных числа: 544, 774, 575. Оказалось, что задуманное число два раза совпало с двумя разными числами в одной цифре и не совпало в двух других. Какое число задумала Лена?
    Решение: Число 744 совпадает с 544 (вторая цифра 4) и с 774 (первая цифра 7), с 575 не совпадает ни в одной позиции.
    Ответ: 744.
    
    
16. Деление. Число из 5...5 (всего написано 90 пятёрок) поделили на число 55...5 (всего написано 9 пятёрок). Сколько цифр получилось в частном?
    Решение: Число \( \frac{55\ldots5}{55\ldots5} \) (90 и 9 пятёрок) равно \( 10^{81} + 10^{72} + \ldots + 10^9 + 1 \). Количество цифр: 82 (1 на каждой из 10 позиций с 9 нулями между ними).
    Ответ: 82.