Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

27.03.2022

1. Торт. Три пятых от половины торта весят 300 г. Сколько весит сам торт?
2. Дробь 1. На сколько больше $2{,}02$, чем $0{,}2$?
3. Дробь 2. Во сколько раз $0{,}8$ больше, чем $0{,}02$?
4. Пирог. Петя с Васей съедают пирог за 4 минуты. Петя без Васи съедает пирог за 12 минут. За сколько минут съест пирог Вася без Пети?
5. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 50, 60, 70, 80, 90.
6. Пенсия. У бабушки в запасе 20 тысяч рублей. В начале каждого месяца она получает пенсию 13 тысяч рублей и в течение месяца тратит 15 тысяч рублей. Сколько месяцев бабушка сможет тратить по 15 тысяч рублей? Других источников у неё нет.
7. Покупка. Миша купил 6 йогуртов и 5 сырков. Йогурт дороже сырка на 5 рублей. Миша заплатил за покупку 250 рублей. Сколько стоил один сырок?
8. Уголком. Число \(11\ldots1\) (две сотни единиц) поделили на число \(11\ldots1\) (десять единиц). Сколько цифр получилось в частном?
9. Площади. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 1 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в сантиметрах.
10. Домашка. Ученик потратил на домашнее задание (д/з) по математике в 2 раза больше времени, чем на д/з по географии, а на д/з по географии в 2 раза больше времени, чем на д/з по литературе. Всего он потратил на эти предметы 2 часа и 20 минут. Сколько минут он потратил на домашнее задание по географии?
11. Шаги. Тима и Лёня шли рядом. Пока Тима делал 5 шагов, Лёня делал 4 шага. Шагомеры показали, что Тима сделал на 600 шагов больше Лёни. Сколько шагов сделал Тима?
12. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 16 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 6 роботов за 6 дней?
13. Этаж. Саша живёт в 12-этажном доме в квартире №753. Все подъезды одинаковые, на каждом этаже, начиная с первого, по 6 квартир. В каком подъезде живёт Саша?
14. Поля. Чтобы засеять поле размерами 60 м на 50 м нужно 90 кг семян. Сколько понадобится семян (кг), чтобы засеять поле размерами 140 м на 60 м?
15. Проценты. В классе девочек $20\%$. Каждой девочке дали 4 конфеты, а каждому мальчику – 3 конфеты. Сколько процентов всех конфет получили девочки?
16. Гномы. За круглым столом сидят 12 гномов. Каждый из них сказал: «Справа от меня среди ближайших двух сидит один правдивый и один лжец». Сколько лжецов сидят за столом, если не все они лжецы?
    
    

Решения задач

1. Торт. Три пятых от половины торта весят 300 г. Сколько весит сам торт?
   Решение: Пусть вес торта равен $x$ г. Тогда:
   $\frac{3}{5} \cdot \frac{x}{2} = 300$
   $\frac{3x}{10} = 300$
   $x = \frac{300 \cdot 10}{3} = 1000$ г.
   Ответ: 1000 г.
   
   
2. Дробь 1. На сколько больше $2{,}02$, чем $0{,}2$?
   Решение: $2{,}02 - 0{,}2 = 1{,}82$
   Ответ: $1{,}82$.
   
   
3. Дробь 2. Во сколько раз $0{,}8$ больше, чем $0{,}02$?
   Решение: $\frac{0{,}8}{0{,}02} = 40$
   Ответ: 40.
   
   
4. Пирог. Петя с Васей съедают пирог за 4 минуты. Петя без Васи съедает пирог за 12 минут. За сколько минут съест пирог Вася без Пети?
   Решение: Совместная скорость: $\frac{1}{4}$ пирога/мин. Скорость Пети: $\frac{1}{12}$ пирога/мин.
   Скорость Васи: $\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$ пирога/мин.
   Ответ: 6 минут.
   
   
5. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое из чисел: 50, 60, 70, 80, 90.
   Решение: НОК чисел:
   $50 = 2 \cdot 5^2$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $70 = 2 \cdot 5 \cdot 7$, $80 = 2^4 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$
   НОК = $2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 7 = 25200$
   Ответ: 25200.
   
   
6. Пенсия. У бабушки в запасе 20 тысяч рублей. В начале каждого месяца она получает пенсию 13 тысяч рублей и в течение месяца тратит 15 тысяч рублей. Сколько месяцев бабушка сможет тратить по 15 тысяч рублей?
   Решение: Ежемесячный дефицит: $15 - 13 = 2$ тыс. руб.
   Запас покрывает: $\frac{20}{2} = 10$ месяцев.
   Ответ: 10.
   
   
7. Покупка. Миша купил 6 йогуртов и 5 сырков. Йогурт дороже сырка на 5 рублей. Миша заплатил за покупку 250 рублей. Сколько стоил один сырок?
   Решение: Пусть сырок стоит $x$ руб., тогда йогурт $x + 5$ руб.:
   $6(x + 5) + 5x = 250$
   $11x + 30 = 250 \Rightarrow x = 20$
   Ответ: 20 руб.
   
   
8. Уголком. Число \(11\ldots1\) (две сотни единиц) поделили на число \(11\ldots1\) (десять единиц). Сколько цифр получилось в частном?
   Решение: Частное имеет вид $10^{190} + 10^{180} + \ldots + 10^{10} + 1$, что содержит 191 цифру.
   Ответ: 191.
   
   
9. Площади. Квадрат со стороной 6 см и прямоугольник со стороной 1 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в сантиметрах.
   Решение: Площадь квадрата: $6 \cdot 6 = 36$ см² = 3600 мм².
   Вторая сторона прямоугольника: $\frac{3600}{1} = 3600$ мм = 360 см.
   Ответ: 360 см.
   
   
10. Домашка. Ученик потратил на домашнее задание по математике в 2 раза больше времени, чем на д/з по географии, а на д/з по географии в 2 раза больше времени, чем на д/з по литературе. Всего он потратил на эти предметы 2 часа и 20 минут. Сколько минут он потратил на домашнее задание по географии?
    Решение: Пусть время на литературу — $x$ мин. Тогда:
    $x + 2x + 4x = 140 \Rightarrow x = 20$ мин.
    География: $2x = 40$ мин.
    Ответ: 40.
    
    
11. Шаги. Тима и Лёня шли рядом. Пока Тима делал 5 шагов, Лёня делал 4 шага. Шагомеры показали, что Тима сделал на 600 шагов больше Лёни. Сколько шагов сделал Тима?
    Решение: Пусть за время $t$ циклов:
    $5t - 4t = 600 \Rightarrow t = 600$
    Шаги Тимы: $5 \cdot 600 = 3000$
    Ответ: 3000.
    
    
12. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 16 компьютеров. Сколько компьютеров соберут 6 роботов за 6 дней?
    Решение: Производительность: $\frac{16}{3 \cdot 3} = \frac{16}{9}$ комп./робот/день.
    Всего: $\frac{16}{9} \cdot 6 \cdot 6 = 64$
    Ответ: 64.
    
    
13. Этаж. Саша живёт в 12-этажном доме в квартире №753. Все подъезды одинаковые, на каждом этаже, начиная с первого, по 6 квартир. В каком подъезде живёт Саша?
    Решение: Квартир в подъезде: $12 \cdot 6 = 72$.
    Номер подъезда: $\left\lceil \frac{753}{72} \right\rceil = 11$
    Ответ: 11.
    
    
14. Поля. Чтобы засеять поле размерами 60 м на 50 м нужно 90 кг семян. Сколько понадобится семян (кг), чтобы засеять поле размерами 140 м на 60 м?
    Решение: Площади: $3000$ м² и $8400$ м².
    Коэффициент: $\frac{8400}{3000} = 2{,}8$
    Семян: $90 \cdot 2{,}8 = 252$ кг.
    Ответ: 252.
    
    
15. Проценты. В классе девочек $20\%$. Каждой девочке дали 4 конфеты, а каждому мальчику – 3 конфеты. Сколько процентов всех конфет получили девочки?
    Решение: Пусть в классе 100 человек. Девочек 20, мальчиков 80.
    Конфет: $20 \cdot 4 + 80 \cdot 3 = 320$
    Доля девочек: $\frac{80}{320} \cdot 100% = 25\%$
    Ответ: $25\%$.
    
    
16. Гномы. За круглым столом сидят 12 гномов. Каждый из них сказал: «Справа от меня среди ближайших двух сидит один правдивый и один лжец». Сколько лжецов сидят за столом, если не все они лжецы?
    Решение: Единственная возможная конфигурация — чередование правдивых и лжецов. Поскольку утверждение лжеца ложно, их количество должно быть кратно 3. При 12 гномах подходит 6 лжецов.
    Ответ: 6.