Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

22.03.2022

1. Дробь 1. На сколько больше $3{,}03$, чем $0{,}3$?
2. Дробь 2. Во сколько раз $0{,}6$ больше, чем $0{,}04$?
3. Пирог. Петя с Васей съедают пирог за 6 минут. Петя без Васи съедает пирог за 18 минут. За сколько минут съест пирог Вася без Пети?
4. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое число от 2 до 10 включительно (на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10).
5. Аквариум. В аквариум длиной 50 см и шириной 40 см налили 5 литров воды. На какую высоту (в сантиметрах) поднялась вода?
6. Кубик. Кубик с ребром 12 см сложили из кубиков с ребром 3 см, его поверхность покрасили (все грани). Сколько маленьких кубиков, у которых покрашено ровно две грани?
7. Время. Брат проходит 1 км за 8 минут, а сестра — за 10 минут. Однажды, когда расстояние между ними было 300 м, брат пошел вслед за сестрой. За сколько минут брат догонит сестру?
8. Задание. Студент потратил на домашнее задание по математике в 2 раза больше времени, чем на задание по физике, а на задание по физике в 3 раза больше времени, чем на задание по английскому. Всего он потратил на эти предметы 1{,}5 часа. Сколько минут он потратил на домашнее задание по физике?
9. Площади. Квадрат со стороной 9 см и прямоугольник со стороной 3 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника в сантиметрах.
10. Шаги. Ваня и Соня шли рядом. Каждые 5 ваниных шагов равны по длине 7 сониных. Шагомеры показали, что Ваня сделал на 900 шагов меньше Сони. Сколько шагов сделал Ваня?
11. Коровы. 30 коров за 30 дней съедают 6 стогов сена. Сколько стогов сена съедят 60 коров за 60 дней?
12. Подъезд. Вера живёт в 18-этажном доме в квартире №400. Все подъезды в доме одинаковые, на каждом этаже, начиная с первого, по 4 квартиры. В каком подъезде живет Вера?
13. Поля. Чтобы засеять прямоугольное поле размером 60 м на 100 м нужно 30 кг семян. Сколько килограммов понадобится семян, чтобы засеять поле размером 70 м на 60 м?
14. Доля. В классе девочек одна треть от всех учеников. Каждой девочке дали 2 конфеты, а каждому мальчику — 1 конфету. Сколько процентов от всех конфет получили девочки?
15. Гномы. За круглым столом сидят 10 гномов. Каждый из них сказал: «Справа от меня сидят два лжеца». Сколько правдивых гномов за столом, если не все они лжецы?
16. Уголком. Число 33...3 (написано сто троек) поделили на число 33333 (пять троек). Сколько цифр получилось в частном?

Решения задач

1. На сколько больше 3{,}03, чем 0{,}3?
   Решение: $3{,}03 - 0{,}3 = 2{,}73$
   Ответ: $2{,}73$.
2. Во сколько раз $0{,}6$ больше, чем $0{,}04$?
   Решение: $\frac{0{,}6}{0{,}04} = 15$
   Ответ: 15.
3. Петя с Васей съедают пирог за 6 минут. Петя без Васи съедает пирог за 18 минут. За сколько минут съест пирог Вася без Пети?
   Решение: Скорость Пети $\frac{1}{18}$ пирога/мин. Совместная скорость $\frac{1}{6}$ пирога/мин. Скорость Васи $\frac{1}{6} - \frac{1}{18} = \frac{1}{9}$ пирога/мин. Время Васи: $9$ минут.
   Ответ: 9.
4. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на любое число от 2 до 10 включительно.
   Решение: НОК(2,3,4,5,6,7,8,9,10) = $2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520$
   Ответ: 2520.
5. В аквариум длиной 50 см и шириной 40 см налили 5 литров воды. На какую высоту поднялась вода?
   Решение: Объём воды $5000$ см³. Площадь основания $50 \cdot 40 = 2000$ см². Высота $\frac{5000}{2000} = 2{,}5$ см.
   Ответ: $2{,}5$.
6. Кубик с ребром 12 см сложили из кубиков с ребром 3 см. Сколько маленьких кубиков с двумя покрашенными гранями?
   Решение: Кубик 4×4×4. Двухгранные кубики находятся на рёбрах, исключая углы: $(4-2) \cdot 12 = 24$ кубика.
   Ответ: 24.
7. Брат проходит 1 км за 8 минут, сестра — за 10 минут. Расстояние между ними 300 м. За сколько минут брат догонит сестру?
   Решение: Скорость брата $\frac{1000}{8} = 125$ м/мин, сестры $\frac{1000}{10} = 100$ м/мин. Разница скоростей $25$ м/мин. Время $\frac{300}{25} = 12$ минут.
   Ответ: 12.
8. Студент потратил на математику в 2 раза больше, чем на физику, а на физику в 3 раза больше, чем на английский. Всего 1{,}5 часа. Сколько минут на физику?
   Решение: Пусть на английский $x$ минут. Тогда физика $3x$, математика $6x$. Сумма $x + 3x + 6x = 90$ мин. $x = 9$, на физику $27$ мин.
   Ответ: 27.
9. Квадрат со стороной 9 см и прямоугольник со стороной 3 мм имеют равные площади. Найдите вторую сторону прямоугольника.
   Решение: Площадь квадрата $81$ см². Сторона прямоугольника $3$ мм $= 0{,}3$ см. Вторая сторона $\frac{81}{0{,}3} = 270$ см.
   Ответ: 270.
10. Каждые 5 ваниных шагов равны 7 сониных. Ваня сделал на 900 шагов меньше. Сколько шагов сделал Ваня?
    Решение: Соотношение шагов 5:7. Разница $2$ части $= 900$ шагов. Одна часть $450$. Ваня $5 \cdot 450 = 2250$ шагов.
    Ответ: 2250.
11. 30 коров за 30 дней съедают 6 стогов. Сколько съедят 60 коров за 60 дней?
    Решение: Производительность $6/(30 \cdot 30) = 1/150$ стога/корова·день. Ответ: $60 \cdot 60 \cdot \frac{1}{150} = 24$ стога.
    Ответ: 24.
12. Вера в квартире №400 в 18-этажном доме с 4 квартирами на этаже. В каком подъезде?
    Решение: Квартир в подъезде $18 \cdot 4 = 72$. Номер подъезда $\lceil \frac{400}{72} \rceil = 6$.
    Ответ: 6.
13. Поле 60×100 м требует 30 кг семян. Сколько нужно для поля 70×60 м?
    Решение: Площадь первого $6000$ м², второго $4200$ м². Семян $30 \cdot \frac{4200}{6000} = 21$ кг.
    Ответ: 21.
14. Девочки — треть класса. Каждая получила 2 конфеты, мальчики — по 1. Сколько процентов конфет у девочек?
    Решение: Пусть 3 ученика: 1 девочка (2 конфеты) и 2 мальчика (2 конфеты). Доля девочек $\frac{2}{4} = 50\%$.
    Ответ: 50.
15. 10 гномов за круглым столом сказали: «Справа два лжеца». Сколько правдивых, если не все лгут?
    Решение: Цикл из трёх гномов: правдивый → два лжеца. Для 10 гномов: 4 правдивых (через каждые два лжеца).
    Ответ: 4.
16. Число из 100 троек поделили на 33333. Сколько цифр в частном?
    Решение: $333...3$ (100 троек) $= \frac{10^{100}-1}{3}$. Деление на $33333 = \frac{10^5-1}{3}$. Частное $\frac{10^{100}-1}{10^5-1} \approx 10^{95}$, цифр: 96.
    Ответ: 96.