Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2022 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2022 год

19.04.2022

1. Разность. Найдите разность между наибольшей из следующих трёх дробей и наименьшей из этих дробей: \[ \frac{11}{12}, \quad \frac{19}{20}, \quad \frac{23}{25}. \] Ответ дайте в виде несократимой дроби.
   
   
2. Скорость. Вчера Аня пробежала 2 км за 5 минут, а сегодня — за 4 минуты. На сколько процентов увеличилась её скорость? (Бежала она равномерно).
   
   
3. Яблоки. В магазине купили 880 фруктов: яблок, груш и апельсинов. Число яблок в 2 раза больше, чем груш, и в 3 раза больше, чем апельсинов. Сколько яблок купили?
   
   
4. Ступени. Видимая часть эскалатора — 300 ступенек. Скорость эскалатора — 2 ступеньки в секунду. Витя шёл по ходу движения эскалатора и прошёл его за 75 секунд. С какой скоростью шёл Витя (ступенек в секунду)?
   
   
5. Куски. Чтобы разобрать палац, Сеня разрезал его на 4 куска, потом один из кусков ещё на 4 куска, и так всего он разделял один из кусков ещё 2 раза. В итоге он получил 50 частей. На сколько кусков он разрезал палац?
   
   
6. НОК. Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на все числа из списка: 48, 54, 56.
   
   
7. Туннель. Поезд длиной 400 метров проехал тоннель длиной 600 метров за 60 секунд. Сколько секунд ехала через тоннель голова поезда? (Не забудьте, что время до момента, когда хвост поезда выехал из тоннеля.)
   
   
8. Краска. 7 маляров за 5 часов непрерывной работы окрашивают площадь 1050 м$^2$ стен. За сколько часов 4 маляра окрасят 2400 м$^2$ стен? (Все маляры работают с одинаковой скоростью.)
   
   
9. Длина. Куб с ребром 60 см сложили из кубиков с ребром 1 см, а затем выложили эти кубики в один ряд. Какой длины получится этот ряд (в метрах)? Внутри куба пустот нет.
   
   
10. Вспашка. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 16 га/ч. За одинаковое время второй трактор вспахал на 30 га больше первого. Сколько гектаров вспахал каждый трактор?
    
    
11. Объём. Бак длиной 8 м и шириной 12 м содержит 384 кубометра нефти. Какой высоты (в метрах) уровень нефти в баке?
    
    
12. Минимум. Замените ребус ЛОЖКА + СУП (пятизначное число и трёхзначное число) на такие числа, чтобы сумма была минимальной. Одинаковые буквы — одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. В ответе напишите сумму.
    
    
13. Градусы. На сколько градусов повернётся минутная стрелка часов за 18 минут?
    
    
14. Вода. В ванной было 50 л воды. В неё долили 30 л и 10 процентов объёма всей воды. Сколько всего воды стало в ванне?
    
    
15. Площадь. Найдите площадь поля размером 180 м на 200 м.
    
    
16. Частное. Число 99...9 (всего 500 девяток) разделили на число 99...9 (всего 100 девяток). Чему равно частное?
    
    
17. Отрицание Контрольную работу назвали несложной,если каждый ученик решил больше двух задач. Продолжите определение в общем виде: Тогда контрольная работа будет называться сложной, если:

Решения задач

1. Найдите разность между наибольшей и наименьшей дробями: $\frac{11}{12}$, $\frac{19}{20}$, $\frac{23}{25}$.
   Решение: Сравним дроби:
   $\frac{11}{12} \approx 0,9167$, $\frac{19}{20} = 0,95$, $\frac{23}{25} = 0,92$.
   Наибольшая: $\frac{19}{20}$, наименьшая: $\frac{11}{12}$.
   Разность: $\frac{19}{20} - \frac{11}{12} = \frac{57}{60} - \frac{55}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$.
   Ответ: $\frac{1}{30}$.
   
   
2. Вчера Аня пробежала 2 км за 5 минут, сегодня — за 4 минуты. На сколько процентов увеличилась скорость?
   Решение: Скорость вчера: $\frac{2}{5} = 0,4$ км/мин = 24 км/ч.
   Скорость сегодня: $\frac{2}{4} = 0,5$ км/мин = 30 км/ч.
   Увеличение скорости: $30 - 24 = 6$ км/ч.
   Процентное увеличение: $\frac{6}{24} \cdot 100% = 25\%$.
   Ответ: 25\%.
   
   
3. В магазине купили 880 фруктов: яблок, груш и апельсинов. Число яблок в 2 раза больше груш и в 3 раза больше апельсинов. Сколько яблок купили?
   Решение: Пусть груш — $x$, тогда яблок — $2x$, апельсинов — $\frac{2x}{3}$.
   Уравнение: $x + 2x + \frac{2x}{3} = 880$.
   Умножаем на 3: $3x + 6x + 2x = 2640 \Rightarrow 11x = 2640 \Rightarrow x = 240$.
   Яблок: $2x = 480$.
   Ответ: 480.
   
   
4. Видимая часть эскалатора — 300 ступенек. Витя шёл 75 секунд. Скорость эскалатора — 2 ступ/с. С какой скоростью шёл Витя?
   Решение: Пусть скорость Вити — $v$ ступ/с.
   За 75 секунд он прошёл $(v + 2) \cdot 75 = 300$.
   Решаем: $v + 2 = 4 \Rightarrow v = 2$ ступ/с.
   Ответ: 2.
   
   
5. Сеня разрезал палац на 4 куска, затем ещё 2 раза разрезал один кусок на 4. Сколько кусков получил?
   Решение: Начальное количество: 4.
   После каждого разреза количество увеличивается на 3: $4 + 3 \cdot 2 = 10$.
   Но по условию получил 50 кусков. Ошибка в условии или дополнительных разрезах: $4 + 3n = 50 \Rightarrow n = \frac{46}{3}$ — нецелое. Вероятно, опечатка в задаче.
   Ответ: 50 (по условию).
   
   
6. Найдите НОК чисел 48, 54, 56.
   Решение: Разложим на множители:
   $48 = 2^4 \cdot 3$, $54 = 2 \cdot 3^3$, $56 = 2^3 \cdot 7$.
   НОК: $2^4 \cdot 3^3 \cdot 7 = 16 \cdot 27 \cdot 7 = 3024$.
   Ответ: 3024.
   
   
7. Поезд длиной 400 м проехал тоннель 600 м за 60 секунд. Время проезда головы:
   Решение: Полный путь: $400 + 600 = 1000$ м.
   Скорость поезда: $\frac{1000}{60} \approx 16,67$ м/с.
   Время головы: $\frac{600}{16,67} \approx 36$ секунд.
   Ответ: 36.
   
   
8. 7 маляров за 5 часов красят 1050 м². За сколько часов 4 маляра покрасят 2400 м²?
   Решение: Производительность одного маляра: $\frac{1050}{7 \cdot 5} = 30$ м²/ч.
   4 маляра за час: $4 \cdot 30 = 120$ м².
   Время: $\frac{2400}{120} = 20$ часов.
   Ответ: 20.
   
   
9. Куб 60 см сложен из кубиков 1 см. Длина ряда:
   Решение: Количество кубиков: $60^3 = 216000$.
   Длина ряда: $216000$ см = $2160$ м.
   Ответ: 2160.
   
   
10. Первый трактор вспахивает 10 га/ч, второй — 16 га/ч. Разница 30 га за время $t$:
    Решение: $16t - 10t = 30 \Rightarrow t = 5$ часов.
    Первый вспахал: $10 \cdot 5 = 50$ га, второй: $16 \cdot 5 = 80$ га.
    Ответ: 50 и 80.
    
    
11. Бак 8 м × 12 м содержит 384 м³ нефти. Высота уровня:
    Решение: Объём: $8 \cdot 12 \cdot h = 384 \Rightarrow h = 4$ м.
    Ответ: 4.
    
    
12. Минимальная сумма ЛОЖКА + СУП:
    Решение: Минимальное пятизначное: 10234, трёхзначное: 567 (без повторений цифр).
    Сумма: $10234 + 567 = 10801$.
    Ответ: 10801.
    
    
13. Минутная стрелка за 18 минут:
    Решение: За минуту стрелка поворачивается на $6^\circ$. За 18 минут: $18 \cdot 6 = 108^\circ$.
    Ответ: $108^\circ$.
    
    
14. В ванне было 50 л, долили 30 л и 10% объёма:
    Решение: После долива: $50 + 30 = 80$ л.
    10% от 80 л: $8$ л. Итого: $80 + 8 = 88$ л.
    Ответ: 88.
    
    
15. Площадь поля 180 м × 200 м:
    Решение: $180 \cdot 200 = 36000$ м².
    Ответ: 36000 м².
    
    
16. Частное чисел $99...9$ (500 девяток) и $99...9$ (100 девяток):
    Решение: $\frac{10^{500} - 1}{10^{100} - 1} = 10^{400} + 10^{300} + 10^{200} + 10^{100} + 1$.
    Ответ: $100...00100...00100...00100...001$ (5 единиц).
    
    
17. Определение сложной контрольной работы:
    Ответ: существует хотя бы один ученик, который решил не более двух задач.