Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 2

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

07.04.2021

1. Скорость. Велосипедист проехал за 6 минут 1500 м. Если ехать с такой же скоростью дальше, то какое расстояние в километрах он проедет за 3 часа?
2. Дробь. Приведите пример обыкновенной дроби, которая больше \( \frac{6}{7} \) и при этом меньше \( \frac{7}{8} \).
3. Числа. Сколько чисел от 1 до 10000 делятся одновременно и на 28, и на 98?
4. Множитель. На какое число надо умножить \( \frac{8}{15} \), чтобы получить \( \frac{33}{5} \)?
5. Уравнение. Решите уравнение: \( 5 - 1{,}5 \cdot (7 - 2x5) = 0{,}5 \cdot (3x - 2) \).
6. Этаж. Саша живёт в 18-этажном доме в квартире №75, номера квартир в подъезде от 1 до 144. На всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша?
7. Шаги. Мама и дочь идут рядом в школу. Пока мама делает 4 шага, дочь делает 5 шагов. Вместе они сделали 7200 шагов. Сколько шагов до школы сделала мама?
8. Делитель. На какое число нужно разделить 1000, чтобы в частном получилось 52, а в остатке 12?
9. Муравей. Муравей ползёт вдоль линейки от деления 35 до деления 125. Возле какого деления он проползёт две трети пути?
10. Сумма. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте три числа: шестизначное, трёхзначное и однозначное так, чтобы сумма этих чисел была наибольшей. В ответе запишите сумму всех трёх чисел.
11. Краска. Для покраски всей поверхности кубика с ребром 1 см понадобилось $0{,}2$ г краски. Сколько краски понадобится для покраски кубика с ребром 5 см?
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты, уложили 3600 квадратных плиток со стороной 20 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
13. Мельница. Трое братьев делили поровну наследство — дом, мельницу и 1000 руб. Сначала первый взял дом, второй — мельницу, третий — 1000 руб. Затем второй дал первому 100 руб., а третий дал первому 200 руб. По стоимости они поделили наследство поровну. Сколько рублей стоил дом?
14. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 12 компьютеров. Сколько нужно роботов, чтобы собрать 60 компьютеров за 9 дней?
15. Отряд. В отряде у полковника 5 майоров, у каждого майора — 5 лейтенантов, у каждого лейтенанта — 10 солдат. Сколько всего военных в этом отряде?
16. Бублики. Ваня посчитал, что если он купит 6 бубликов, то у него останется 10 рублей, а на 10 бубликов ему не хватит 5 рублей. Какое наибольшее число бубликов сможет купить Ваня?

Решения задач

1. Велосипедист проехал за 6 минут 1500 м. Если ехать с такой же скоростью дальше, то какое расстояние в километрах он проедет за 3 часа?
   Решение:
   6 минут = 0,1 часа. Скорость велосипедиста:
   $v = \frac{1,5 \text{ км}}{0,1 \text{ ч}} = 15 \text{ км/ч}$
   За 3 часа он проедет:
   $S = 15 \cdot 3 = 45$ км.
   Ответ: 45.
   
   
2. Приведите пример обыкновенной дроби, которая больше \( \frac{6}{7} \) и при этом меньше \( \frac{7}{8} \).
   Решение:
   Приведем дроби к общему знаменателю 56:
   $\frac{6}{7} = \frac{48}{56}$, $\frac{7}{8} = \frac{49}{56}$
   Подходящая дробь: $\frac{48,5}{56} = \frac{97}{112}$.
   Проверка: $\frac{97}{112} \approx 0,866$, что между $0,857$ и $0,875$.
   Ответ: $\frac{97}{112}$.
   
   
3. Сколько чисел от 1 до 10000 делятся одновременно и на 28, и на 98?
   Решение:
   НОК(28, 98) = НОК(2²·7, 2·7²) = 2²·7² = 196.
   Количество кратных чисел:
   $\left\lfloor \frac{10000}{196} \right\rfloor = 51$.
   Ответ: 51.
   
   
4. На какое число надо умножить \( \frac{8}{15} \), чтобы получить \( \frac{33}{5} \)?
   Решение:
   Пусть искомое число — $x$:
   $\frac{8}{15} \cdot x = \frac{33}{5}$
   $x = \frac{33}{5} : \frac{8}{15} = \frac{33}{5} \cdot \frac{15}{8} = \frac{99}{8} = 12,375$.
   Ответ: $\frac{99}{8}$.
   
   
5. Решите уравнение: \( 5 - 1{,}5 \cdot (7 - 2x \cdot 5) = 0{,}5 \cdot (3x - 2) \).
   Решение:
   $5 - 1,5(7 - 10x) = 1,5x - 1$
   $5 - 10,5 + 15x = 1,5x - 1$
   $-5,5 + 15x = 1,5x - 1$
   $13,5x = 4,5$
   $x = \frac{4,5}{13,5} = \frac{1}{3}$.
   Ответ: $\frac{1}{3}$.
   
   
6. Саша живёт в 18-этажном доме в квартире №75, номера квартир в подъезде от 1 до 144. На всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша?
   Решение:
   Квартир на этаж: $\frac{144}{18} = 8$.
   Номер этажа для квартиры 75:
   $\left\lceil \frac{75}{8} \right\rceil = 10$.
   Ответ: 10.
   
   
7. Мама и дочь идут рядом в школу. Пока мама делает 4 шага, дочь делает 5 шагов. Вместе они сделали 7200 шагов. Сколько шагов до школы сделала мама?
   Решение:
   Соотношение шагов 4:5. Всего частей: $4 + 5 = 9$.
   Шаги мамы: $\frac{4}{9} \cdot 7200 = 3200$.
   Ответ: 3200.
   
   
8. На какое число нужно разделить 1000, чтобы в частном получилось 52, а в остатке 12?
   Решение:
   По формуле деления с остатком:
   $1000 = 52 \cdot x + 12$
   $52x = 988$
   $x = \frac{988}{52} = 19$.
   Ответ: 19.
   
   
9. Муравей ползёт вдоль линейки от деления 35 до деления 125. Возле какого деления он проползёт две трети пути?
   Решение:
   Весь путь: $125 - 35 = 90$ см.
   Две трети пути: $\frac{2}{3} \cdot 90 = 60$ см.
   Искомое деление: $35 + 60 = 95$.
   Ответ: 95.
   
   
10. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте три числа: шестизначное, трёхзначное и однозначное так, чтобы сумма этих чисел была наибольшей. В ответе запишите сумму всех трёх чисел.
    Решение:
    Максимальная сумма: $987654 + 321 + 0 = 987975$.
    Ответ: 987975.
    
    
11. Для покраски всей поверхности кубика с ребром 1 см понадобилось $0{,}2$ г краски. Сколько краски понадобится для покраски кубика с ребром 5 см?
    Решение:
    Площадь поверхности кубика 5 см: $6 \cdot 5^2 = 150$ см².
    Расход краски: $0,2 \cdot \left(\frac{150}{6}\right) = 5$ г.
    Ответ: 5.
    
    
12. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты, уложили 3600 квадратных плиток со стороной 20 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
    Решение:
    Площадь пола: $3600 \cdot (0,2)^2 = 144$ м².
    Сторона пола: $\sqrt{144} = 12$ м.
    Ответ: 12.
    
    
13. Трое братьев делили поровну наследство — дом, мельницу и 1000 руб. Сначала первый взял дом, второй — мельницу, третий — 1000 руб. Затем второй дал первому 100 руб., а третий дал первому 200 руб. По стоимости они поделили наследство поровну. Сколько рублей стоил дом?
    Решение:
    Пусть дом = $x$ руб., мельница = $y$ руб. Каждому положено $\frac{x + y + 1000}{3}$.
    Первый получил: $x + 100 + 200 = x + 300$.
    Условие равенства: $x + 300 = 800$ (третий получил $1000 - 200 = 800$).
    Отсюда $x = 500$ руб.
    Ответ: 500.
    
    
14. 3 робота за 3 дня собирают 12 компьютеров. Сколько нужно роботов, чтобы собрать 60 компьютеров за 9 дней?
    Решение:
    Производительность одного робота: $\frac{12}{3 \cdot 3} = \frac{4}{3}$ компьютера/день.
    Необходимое количество роботов: $\frac{60}{9 \cdot \frac{4}{3}} = 5$.
    Ответ: 5.
    
    
15. В отряде у полковника 5 майоров, у каждого майора — 5 лейтенантов, у каждого лейтенанта — 10 солдат. Сколько всего военных в этом отряде?
    Решение:
    Полковник: 1.
    Майоры: 5.
    Лейтенанты: $5 \cdot 5 = 25$.
    Солдаты: $25 \cdot 10 = 250$.
    Всего: $1 + 5 + 25 + 250 = 281$.
    Ответ: 281.
    
    
16. Ваня посчитал, что если он купит 6 бубликов, то у него останется 10 рублей, а на 10 бубликов ему не хватит 5 рублей. Какое наибольшее число бубликов сможет купить Ваня?
    Решение:
    Пусть цена бублика $x$ руб., у Вани $y$ руб.:
    $\begin{cases} 6x + 10 = y \\ 10x - 5 = y \end{cases}$
    Решение: $x = 3,75$ руб., $y = 32,5$ руб.
    Максимальное количество: $\left\lfloor \frac{32,5}{3,75} \right\rfloor = 8$.
    Ответ: 8.