Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

21.04.2021

1. Сундуки. По 11 сундукам разложено 18 монет. На каждом сундуке написано: «тут ровно две монеты». Известно, что среди этих надписей есть ровно 3 неверные. Сколько сундуков пусты?
   
   
2. Операции. На доске выписаны все числа от 1 до 2021. Каждую секунду с каждым числом проделывают операцию: если число не делится на 100, то из него вычитают 1, а если делится на 100, то его делят на 100. Найдите наибольшее среди чисел на доске через 1 минуту.
   
   
3. Судьи. Для вынесения приговора за круглым столом собрались 12 судей. Каждый судья предположил, что все, кто сидит не рядом с ним, вынесут вердикт «Не виновен». После голосования оказалось, что правы были только те судьи, которые вынесли вердикт «Виновен». Сколько судей вынесли вердикт «Виновен»?
   
   
4. Чай. На столе стоят 16 стаканов с чаем. Чай в них налит неравномерно. Ученику разрешается взять любые два стакана и уравнять в них количество чая, перелив из одного стакана в другой. Помогите ему таким способом уравнять количество чая во всех стаканах.
   
   
5. Новенькие. В 8-А класс пришли новые ученики. Каждый мальчик по разу с интересом посмотрел на каждую новенькую девочку, а каждая из «стареньких» девочек по разу строго посмотрела на каждого из мальчиков. В итоге за урок был брошен 221 взгляд. Найдите двузначное число учеников, которые теперь учатся в 8-А классе.
   
   
6. Перекаты. На плоскости лежит картонный квадрат $ABCD$, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в исходное место на плоскости. Докажите, что он остался в прежнем положении (то есть все его вершины оказались на исходных местах).
   
   
7. Лодка. Лодка проплыла три одинаковых участка вниз по реке. Первый участок с мотором — за 8 минут, второй участок на резервном моторе — за 15 минут, третий участок без мотора — за 4 часа. Сколько времени занял бы весь путь, если бы оба мотора работали всё время?
   (Скорости, получаемые от моторов, складываются.)
   
   
8. Космобой. Для игры в «Космический бой» необходимо разместить на квадратной клетчатой доске один крейсер размерами $2\times3$, одну летающую тарелку размерами $2\times2$, три звездолёта размерами $1\times3$ и четыре истребителя размерами $1\times2$ так, чтобы корабли не соприкасались даже углами. На какой наименьшей доске удастся разместить корабли для игры в «Космический бой»?
   
   
9. Игра. Круглое ожерелье состоит из 2021 прозрачной бусинки. Два игрока по очереди раскрашивают одну из прозрачных бусинок в один из двух цветов: первый красит в белый цвет, а второй — в чёрный. При этом соседние бусинки не могут быть покрашены в один цвет. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто победит при правильной игре?
   
   
10. Выборы. В выборах участвуют два кандидата и 9 избирателей. Кандидаты не голосуют, а избиратель голосует за того кандидата, кто даст ему больше монет (если дали поровну, то голосует за первого). Известно, что первый кандидат раздал всего 100 монет. Шпион сообщает второму кандидату, кому и сколько монет дал первый кандидат. Какое наименьшее число монет должен заранее заготовить второй кандидат, чтобы гарантировать себе победу?
    
    

Решения задач

1. Сундуки. Всего 11 сундуков, 18 монет. Три сундука содержат не две монеты. Пусть $k$ — количество сундуков с двумя монетами. Тогда: \[ 2k + (8 - k) \cdot 0 + \text{(монеты в трёх неверных сундуках)} = 18 \] Три неверных сундука содержат $18 - 2k$ монет. Минимальное количество пустых сундуков: $8 - k$. Подбором находим $k = 6$: $2 \cdot 6 = 12$ монет в верных сундуках, $18 - 12 = 6$ монет в трёх неверных (например, 4 + 1 + 1). Тогда пустых сундуков: $8 - 6 = 2$.
   Ответ: 2.
   
   
2. Операции. Числа, делящиеся на 100, уменьшаются в 100 раз. Через 60 операций наибольшее число останется среди тех, что не делятся на 100. Наибольшее исходное число — 2021. После 60 вычитаний: $2021 - 60 = 1961$.
   Ответ: 1961.
   
   
3. Судьи. Судья, голосующий «Виновен», прав только если все не соседи проголосовали «Не виновен». Для выполнения условия «правы только виновные» все «Виновен» должны быть изолированы двумя «Не виновен». При 12 судьях максимальное количество «Виновен» — 4 (через каждые два места).
   Ответ: 4.
   
   
4. Чай. Общий объём чая сохраняется. Среднее количество в стакане: $\frac{\text{сумма}}{16}$. Последовательно уравнивая пары стаканов, можно достичь равномерного распределения.
   Ответ: Да, можно.
   
   
5. Новенькие. Пусть $m$ — мальчики, $n$ — новенькие девочки, $s$ — «старенькие». Уравнение: $m(n + s) = 221 = 13 \cdot 17$. Вариант: $m = 13$, $n + s = 17$. Общее число учеников: $13 + 17 = 30$.
   Ответ: 30.
   
   
6. Перекаты. Каждое перекатывание меняет ориентацию квадрата на 90°. Для возврата в исходное положение количество перекатываний кратно 4, что сохраняет исходную ориентацию.
   Ответ: Доказано.
   
   
7. Лодка. Пусть $S$ — длина участка. Скорости: $\frac{S}{8}$, $\frac{S}{15}$, $\frac{S}{240}$. Суммарная скорость с двумя моторами: $\frac{3S}{16}$. Время для трёх участков: $\frac{3S}{\frac{3S}{16}} = 16$ минут.
   Ответ: 16 минут.
   
   
8. Космобой. Минимальный размер доски: $10 \times 10$. Учёт площади кораблей и изоляции требует дополнительных клеток.
   Ответ: $10 \times 10$.
   
   
9. Игра. Нечётное количество бусин позволяет первому игроку занять центральную и симметрично копировать ходы второго.
   Ответ: Первый игрок.
   
   
10. Выборы. Второму кандидату нужно перебить голоса 5 избирателей. Минимальная сумма: $101 + 4 \cdot 1 = 105$ монет.
    Ответ: 105.