Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2021 год

07.04.2021

1. Скорость. Велосипедист проехал за 3 минуты 750 м. Если ехать с такой же скоростью дальше, то какое расстояние в километрах он проедет за 2 часа?
2. Дробь. Приведите пример обыкновенной дроби, которая больше \( \frac{7}{8} \) и при этом меньше \( \frac{8}{9} \).
3. Числа. Сколько чисел от 1 до 1000 делятся одновременно и на 12, и на 18?
4. Множитель. На какое число надо умножить \( \frac{8}{15} \), чтобы получить \( \frac{11}{10} \)?
5. Уравнение. Решите уравнение: \( 5 - 1{,}5 \cdot (5 - 2x) = 0{,}5 \cdot (1 + 3x) \).
6. Этаж. Саша живёт в 18-этажном доме в квартире №91, номера квартир в подъезде от 1 до 144. На всех этажах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша?
7. Шаги. Мама и дочь идут рядом в школу. Пока мама делает 5 шагов, дочь делает 7 шагов. Вместе они сделали 7200 шагов. Сколько шагов до школы сделала мама?
8. Делитель. На какое число нужно разделить 1000, чтобы в частном получилось 58, а в остатке 14?
9. Муравей. Муравей ползёт вдоль линейки от деления 35 до деления 125. Возле какого деления он проползёт треть пути?
10. Сумма. Используя каждую из десяти цифр по одному разу, составьте три числа: пятизначное, четырёхзначное и однозначное так, чтобы сумма этих чисел была наибольшей. В ответ запишите сумму всех трёх чисел.
11. Краска. Для покраски всей поверхности кубика с ребром 1 см понадобилось 0{,}5 г краски. Сколько краски понадобится для покраски кубика с ребром 10 см?
12. Плитки. Чтобы покрыть квадратный пол комнаты, уложили 2500 квадратных плиток со стороной 20 см. Найдите длину стороны пола в метрах.
13. Мельница. Трое братьев делили поровну наследство — дом, мельницу и 1000 руб. Сначала первый взял дом, второй — мельницу, третий — 1000 руб. Затем второй дал первому 400 руб., а третий дал первому 200 руб. По стоимости они поделили поровну. Сколько рублей стоил дом?
14. Роботы. 3 робота за 3 дня собирают 10 компьютеров. Сколько нужно роботов, чтобы собрать 84 компьютера за 9 дней?
15. Отряд. В отряде у полковника 10 майоров, у каждого майора — 10 лейтенантов, у каждого лейтенанта — 10 солдат. Сколько всего военных в этом отряде?
16. Бублики. Ваня посчитал, что если он купит 5 бубликов, то у него останется 25 рублей, а на 10 бубликов ему не хватит 15 рублей. Какое наибольшее число бубликов сможет купить Ваня?

Решения задач

1. Велосипедист проехал за 3 минуты 750 м. С такой же скоростью за 2 часа он проедет:
   Решение:
   Скорость велосипедиста: $\frac{750}{3} = 250$ м/мин.
   За 2 часа ($120$ минут) расстояние: $250 \cdot 120 = 30\,000$ м = $30$ км.
   Ответ: 30 км.
2. Пример обыкновенной дроби между $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$:
   Решение:
   Приведём дроби к общему знаменателю: $\frac{7}{8} = \frac{63}{72}$, $\frac{8}{9} = \frac{64}{72}$.
   Подходящая дробь: $\frac{127}{144} = 0,88194$, так как $\frac{7}{8} = 0,875$, $\frac{8}{9} \approx 0,88889$.
   Ответ: $\frac{127}{144}$.
3. Количество чисел от 1 до 1000, делящихся на 12 и 18:
   Решение:
   НОК(12, 18) = 36. Числа: $36, 72, ..., 36 \cdot 27 = 972$.
   Всего чисел: $\left\lfloor \frac{1000}{36} \right\rfloor = 27$.
   Ответ: 27.
4. Число, на которое нужно умножить $\frac{8}{15}$:
   Решение:
   Пусть $x$ — искомое число. Тогда:
   $\frac{8}{15} \cdot x = \frac{11}{10} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{11}{10} \cdot \frac{15}{8} = \frac{33}{16}$.
   Ответ: $\frac{33}{16}$.
5. Решение уравнения $5 - 1{,}5 \cdot (5 - 2x) = 0{,}5 \cdot (1 + 3x)$:
   Решение:
   $5 - 7{,}5 + 3x = 0{,}5 + 1{,}5x$
   $-2{,}5 + 3x = 0{,}5 + 1{,}5x$
   $1{,}5x = 3$
   $x = 2$.
   Ответ: 2.
6. Этаж Саши в 18-этажном доме:
   Решение:
   Квартир на этаж: $\frac{144}{18} = 8$.
   Номер квартиры Саши в подъезде: 91.
   Этаж: $\left\lceil \frac{91}{8} \right\rceil = \left\lceil 11{,}375 \right\rceil = 12$.
   Ответ: 12.
7. Шаги мамы:
   Решение:
   Соотношение шагов: $5:7$. Всего частей: $5 + 7 = 12$.
   Одна часть: $\frac{7200}{12} = 600$.
   Шаги мамы: $5 \cdot 600 = 3000$.
   Ответ: 3000.
8. Число для деления 1000:
   Решение:
   Уравнение: $1000 = 58x + 14$
   $58x = 986$
   $x = \frac{986}{58} = 17$.
   Ответ: 17.
9. Деление на треть пути:
   Решение:
   Весь путь: $125 - 35 = 90$ см.
   Треть пути: $\frac{90}{3} = 30$ см.
   Положение: $35 + 30 = 65$.
   Ответ: 65.
10. Наибольшая сумма трёх чисел:
    Решение:
    Пятизначное: 98765, четырёхзначное: 4321, однозначное: 0.
    Сумма: $98765 + 4321 + 0 = 103086$.
    Ответ: 103086.
11. Краска для кубика 10 см:
    Решение:
    Площадь поверхности кубика увеличивается в $10^2 = 100$ раз.
    Краски потребуется: $0{,}5 \cdot 100 = 50$ г.
    Ответ: 50 г.
12. Сторона пола:
    Решение:
    Площадь одной плитки: $0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$ м².
    Общая площадь: $2500 \cdot 0{,}04 = 100$ м².
    Сторона пола: $\sqrt{100} = 10$ м.
    Ответ: 10 м.
13. Стоимость дома:
    Решение:
    Пусть $S$ — доля каждого. Тогда:
    $H - 600 = S$, $M + 400 = S$, $1000 + 200 = S$.
    Из третьего уравнения: $S = 1200$.
    Стоимость дома: $H = 1200 + 600 = 1800$ руб.
    Ответ: 1800 руб.
14. Количество роботов:
    Решение:
    Производительность: $\frac{10}{3 \cdot 3} = \frac{10}{9}$ компьютера/робот/день.
    Необходимо: $\frac{84}{9 \cdot \frac{10}{9}} = 8{,}4 \approx 9$ роботов.
    Ответ: 9.
15. Всего военных в отряде:
    Решение:
    $1$ полковник + $10$ майоров + $10 \cdot 10 = 100$ лейтенантов + $100 \cdot 10 = 1000$ солдат.
    Итого: $1 + 10 + 100 + 1000 = 1111$.
    Ответ: 1111.
16. Максимальное число бубликов:
    Решение:
    Пусть цена бублика $x$, деньги $y$:
    $5x + 25 = y$
    $10x - 15 = y$
    Решение: $x = 8$ руб., $y = 65$ руб.
    Максимум: $\left\lfloor \frac{65}{8} \right\rfloor = 8$.
    Ответ: 8.