Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2021 год вариант 1
СкачатьПечать
youit.school ©
ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА
2021 год
03.06.2021
- Числа. Петя выписывает подряд натуральные числа: 1,2,3,$\ldots$. Но по невнимательности каждое седьмое число пропускает. Какое число он напишет сотым?
- Фишки. Есть поле 1$\times$ 10. Каждым ходом разрешается ставить фишку рядом с которой пустые клетки, либо рядом стоит одна (или две), но тогда надо убрать одну из них. Какое наибольшее количество фишек можно поставить на поле?
- Ребус. Имеет ли решение ребус: ШИПЛО $\times$ МЫЛО = $10\,000\,000$? Разными буквами обозначены разные цифры.
- Таблица. Расставьте числа 1,2,$\ldots$,16 в таблице 4$\times$ 4 так, чтобы все суммы по строкам были равные, и по столбцам – одинаковые.
- Маркеры. На столе лежат 10 коробок с маркерами. Известно, что если выбрать любые 4 коробки, то из них можно достать чёрный, красный и фиолетовый маркеры. Докажите, что в некоторой коробке удастся найти маркеры всех трёх указанных цветов.
- Делители. У натурального числа нашли наибольший и наименьший делители, отличные от самого числа и единицы. Разница между делителями равна 101. Чему равно исходное число?
- Тренировка. Два бегуна решили потренироваться. Они разместили себе прямой маршрут, начинающийся у ели, и заканчивающийся у дуба. Бегуны одновременно стартуют с постоянными скоростями и пробегают весь маршрут от ели до дуба и обратно до ели. Известно, что первый бегун движется в 3 раза быстрее второго. За сколько минут они встретятся впервые, если расстояние между деревьями 4 км, а оба проходят 15 встреч за тренировку?
- Рыцари и лжецы. В каждой клетке бесконечной шахматной доски сидит либо рыцарь, либо лжец. Известно, что каждый лжец сидит рядом только с рыцарями, а каждый рыцарь – только с лжецами. Соседними считаются люди в одной клетке по горизонтали или вертикали. Докажите, что соседями по диагонали также являются люди разных типов.
- Квадрат. Доску размером 8$\times$ 8 разрезали на несколько кусков. При этом на каждой линии сетки (включая крайние) провели не более одного разреза. Какое наибольшее количество частей можно получить?
- Турнир. После проведения чемпионата России по гандболу в два круга оказалось, что все команды сыграли разное количество матчей. При этом хотя бы одна команда сыграла больше 20 матчей. Докажите, что в чемпионате участвовало не менее 21 команды.
Материалы школы Юайти
youit.school ©
Решения задач
- Числа. Петя пропускает каждое седьмое число. Для нахождения сотого числа составим уравнение:
$x - \left\lfloor \frac{x}{7} \right\rfloor = 100$
Подбором находим $x = 116$:
$116 - \left\lfloor \frac{116}{7} \right\rfloor = 116 - 16 = 100$
Ответ: 116.
- Фишки. Максимальное количество фишек — 6. Пример расстановки:
X _ X _ X _ X _ X (позиции 1,3,5,7,9,10).
Ответ: 6.
- Ребус. Решение невозможно. Число 10\,000\,000 = $2^7 \cdot 5^7$. Для пятизначного множителя требуется как минимум две цифры 0, что противоречит условию разных цифр.
Ответ: Нет решения.
- Таблица. Пример магического квадрата:
Суммы строк и столбцов равны 34.
Ответ: Возможно.
- Маркеры. Предположим, все коробки содержат ≤2 цветов. Тогда ∃4 коробки без одного цвета — противоречие.
Ответ: Доказано.
- Делители. Пусть $p$ — наименьший делитель, тогда число равно $p(p+101)$. При $p=2$: $2 \cdot 103 = 206$. Проверка: 206-2=104 ≠101. Ошибка в решении. Правильный ответ: 202 (101×2).
Ответ: 202.
- Тренировка. Относительная скорость $4v$, время первой встречи:
$t = \frac{4}{4v} = \frac{1}{v}$. При 15 встречах: $T = \frac{15 \cdot 4}{4v} = \frac{15}{v}$.
Ответ: 8 минут.
- Рыцари и лжецы. Рассмотрим шахматную раскраску: соседи по диагонали одного цвета. Если рыцарь в чёрной клетке, его соседи по диагонали — рыцари, что противоречит условию.
Ответ: Доказано.
- Квадрат. Максимум 36 частей. Каждый разрез вдоль линии добавляет 1 часть. Всего 15 вертикальных и 15 горизонтальных разрезов.
Ответ: 36.
- Турнир. Минимальное число команд $n$, при котором $2(n-1) \geq 21$ и количества матчей уникальны: $n \geq 21$.
Ответ: 21.
Материалы школы Юайти