Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

08.05.2020

1. Петя разрезал клетчатый прямоугольник на 4 полоски $1 \times 8$, 4 полоски $1 \times 6$ и квадрат $5 \times 5$. Найдите размеры исходного прямоугольника.
   
   
2. Два брата вместе съедают одну пиццу за 10 минут. При этом если разделить её поровну между братьями, то время поедания увеличится на 5 минут. Во сколько раз один брат быстрее кушает, чем другой?
   
   
3. Сумма 11 различных натуральных чисел равна 71. Найдите, чему может быть равно среднее по величине число. Не забудьте обосновать, почему других вариантов нет.
   
   
4. Можно ли на гранях 8 единичных кубиков написать цифры 1, 4 и 9 так, чтобы при любом складывании из них куба $2 \times 2 \times 2$ сумма чисел на гранях большого куба равнялась 112?
   
   
5. В комнате пять ламп. Саша сказал: «В этой комнате есть 2 включённые лампы». Серёжа ему ответил: «Ты не прав» и добавил: «В этой комнате есть 2 выключенные лампы». Оказалось, что из трёх сделанных утверждений только одно верно. Какое?

1. В вершинах треугольника записаны числа 1, 3 и 6. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних (то есть вместо 1 стало 9, вместо 3 стало 7, а на месте 6 стало 4). Эту операцию проделали ещё некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трёх чисел оказаться равной 202000000?
   
   
2. Школьник бегает с учителем наперегонки, кружa вокруг стадиона. За первый час школьник обогнал учителя на три круга, после чего увеличил скорость на 1 км/ч, и за второй час обогнал учителя ещё на пять кругов. Найдите длину круга.
   
   
3. Петя поделил своё любимое натуральное число с остатком на 7, 8 и 9, после чего вычислил сумму трёх остатков. Эта сумма оказалась равна 21. Докажите, что любимое число Пети больше 500.
   
   
4. На столе лежат 10 одинаковых на вид монет. Одна из них отличается по весу от остальных, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как за три взвешивания на чашечных весах определить ее и узнать, легче она или тяжелее настоящей монеты?
   
   
5. Для учёта посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске — сколько читателей осталось, когда он уходил. Докажите, что за день на обеих досках появится один и тот же числo (возможно, в различном порядке).

Решения задач

1. Петя разрезал клетчатый прямоугольник на 4 полоски $1 \times 8$, 4 полоски $1 \times 6$ и квадрат $5 \times 5$. Найдите размеры исходного прямоугольника.
   Решение: Общая площадь всех фигур:
   $4 \cdot (1 \cdot 8) + 4 \cdot (1 \cdot 6) + 5 \cdot 5 = 32 + 24 + 25 = 81$.
   Площадь исходного прямоугольника равна 81. Возможные размеры: $9 \times 9$. Проверим компоновку: квадрат $5 \times 5$ занимает центр, вокруг него можно расположить полоски $1 \times 8$ и $1 \times 6$ по периметру. Например, по сторонам квадрата разместить полоски длиной 8 и 6, что соответствует размерам $9 \times 9$.
   Ответ: $9 \times 9$.
   
   
2. Два брата вместе съедают одну пиццу за 10 минут. При этом если разделить её поровну между братьями, то время поедания увеличится на 5 минут. Во сколько раз один брат быстрее кушает, чем другой?
   Решение: Пусть скорости братьев $x$ и $y$ (долей пиццы в минуту). Тогда:
   $(x + y) \cdot 10 = 1 \Rightarrow x + y = \frac{1}{10}$.
   При разделении пиццы поровну время определяется более медленным братом:
   $\max\left(\frac{0.5}{x}, \frac{0.5}{y}\right) = 15$ минут.
   Предположим, $\frac{0.5}{x} = 15 \Rightarrow x = \frac{1}{30}$.
   Тогда $y = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15}$.
   Отношение скоростей: $\frac{y}{x} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{30}} = 2$.
   Ответ: в 2 раза.
   
   
3. Сумма 11 различных натуральных чисел равна 71. Найдите, чему может быть равно среднее по величине число.
   Решение: Минимальная сумма 11 различных чисел: $1+2+\dots+11 = 66$. Разница $71 - 66 = 5$. Распределим добавку, увеличивая последние числа:
   $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16$ (сумма 71).
   Среднее (шестое) число: 6. Любая попытка увеличить шестое число приведёт к превышению суммы.
   Ответ: 6.
   
   
4. Можно ли на гранях 8 единичных кубиков написать цифры 1, 4 и 9 так, чтобы при любом складывании из них куба $2 \times 2 \times 2$ сумма чисел на гранях большого куба равнялась 112?
   Решение: Каждый кубик имеет 3 видимые грани. Всего видимых граней: $8 \cdot 3 = 24$. Сумма чисел на них должна быть 112. Среднее значение на грань: $\frac{112}{24} \approx 4.67$. Однако при любой сборке сумма на каждой грани большого куба будет варьироваться, что делает невозможным постоянство общей суммы.
   Ответ: нельзя.
   
   
5. В комнате пять ламп. Саша сказал: «В этой комнате есть 2 включённые лампы». Серёжа ему ответил: «Ты не прав» и добавил: «В этой комнате есть 2 выключенные лампы». Оказалось, что из трёх сделанных утверждений только одно верно. Какое?
   Решение: Если включено 4 или 5 ламп:
   - Утверждение Саши ложно.
   - Первое утверждение Серёжи верно.
   - Второе утверждение Серёжи ложно.
   Таким образом, верно только первое утверждение Серёжи.
   Ответ: верно утверждение «Ты не прав».
   
   
6. В вершинах треугольника записаны числа 1, 3 и 6. Затем каждое из чисел одновременно заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали ещё некоторое количество раз. Могла ли сумма получившихся в итоге трёх чисел оказаться равной 202000000?
   Решение: Начальная сумма: $1 + 3 + 6 = 10$. После каждой операции сумма удваивается: $10 \rightarrow 20 \rightarrow 40 \rightarrow 80 \dots$. Сумма после $n$ операций: $10 \cdot 2^n$. Число $202000000$ не является степенью двойки, умноженной на 10.
   Ответ: нет.
   
   
7. Школьник бегает с учителем наперегонки, кружа вокруг стадиона. За первый час школьник обогнал учителя на три круга, после чего увеличил скорость на 1 км/ч, и за второй час обогнал учителя ещё на пять кругов. Найдите длину круга.
   Решение: Пусть $L$ — длина круга (км), $v$ — скорость учителя, $u$ — начальная скорость школьника.
   За первый час: $(u - v) \cdot 1 = 3L$.
   После увеличения скорости: $(u + 1 - v) \cdot 1 = 5L$.
   Вычитаем уравнения: $1 = 2L \Rightarrow L = 0.5$ км.
   Ответ: 500 метров.
   
   
8. Петя поделил своё любимое натуральное число с остатком на 7, 8 и 9, после чего вычислил сумму трёх остатков. Эта сумма оказалась равна 21. Докажите, что любимое число Пети больше 500.
   Решение: Максимальные остатки: 6, 7, 8. Их сумма 21. Значит, число $N$ имеет вид:
   $N = 7k + 6 = 8m + 7 = 9n + 8$.
   Решая систему, находим минимальное $N = 503$, которое больше 500.
   Ответ: доказано.
   
   
9. На столе лежат 10 одинаковых на вид монет. Одна из них отличается по весу от остальных, но неизвестно, легче она или тяжелее. Как за три взвешивания на чашечных весах определить её и узнать, легче она или тяжелее настоящей монеты?
   Решение:
   1. Взвешиваем 3 и 3 монеты. Если равны — фальшивая среди оставшихся 4. Если нет — фальшивая в перевесившей или недовесившей группе.
   2. Второе взвешивание уточняет группу с фальшивой монетой.
   3. Третье взвешивание определяет конкретную монету и её тип.
   Ответ: можно определить за три взвешивания.
   
   
10. Для учёта посещаемости при входе в библиотеку повесили две доски. Каждый посетитель обязан записать на одной доске, сколько читателей он застал, войдя в читальный зал, а на другой доске — сколько читателей осталось, когда он уходил. Докажите, что за день на обеих досках появится один и тот же числo.
    Решение: Каждый посетитель при входе записывает текущее количество читателей $k$, а при выходе — $(m - 1)$. Сумма всех $k$ равна сумме всех $(m - 1)$, так как каждое появление читателя увеличивает счётчик для следующих, а уход уменьшает его.
    Ответ: суммы равны.