Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

07.04.2020

1. По кругу стоят 10 человек, на каждом надет красный или синий колпак. Человек говорит правду, только если у обоих его соседей колпак того же цвета, что и у него; иначе, он лжет. Каждый произнес следующую фразу: «Среди моих соседей ровно один говорит правду». Сколько человек могли не обмануть?
2. Робот может выполнять одну из трех команд:
   1. Разрезать какой-нибудь лист бумаги на 4 части.
   2. Разрезать какой-нибудь лист бумаги на 10 частей.
   3. Разрезать все имеющиеся листы пополам.
   Можно ли с его помощью из трех листов ватмана получить ровно 1000 кусочков бумаги?
3. В клетчатом квадрате $8 \times 8$ отметили две клетки. Докажите, что его всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковые части так, чтобы в каждой оказалось по одной отмеченной клетке. Части считаются одинаковыми, если их можно совместить наложением (при этом, отмеченные клетки могут и не совпасть).
4. Есть 6 монет, среди которых одна фальшивая, которая отличается по весу от настоящих. Также про одну из монет известно, что она настоящая. Как за два взвешивания на чашечных весах определить фальшивую монету? (Легче она или тяжелее настоящей определять не требуется.)
5. Двум мудрецам сообщили по ненулевой цифре. Они знают только, что цифры отличаются. Мудрецы встретились и по очереди сделали следующие утверждения:
   
   
   Первый: «Я не знаю, чье число больше.»
   Второй: «Я не знаю, чье число больше.»
   Первый: «Я не знаю, чье число больше.»
   Второй: «Я не знаю, чье число больше.»
   Какую цифру сообщили второму мудрецу?

Решения задач

1. По кругу стоят 10 человек, на каждом надет красный или синий колпак. Человек говорит правду, только если у обоих его соседей колпак того же цвета, что и у него; иначе, он лжет. Каждый произнес следующую фразу: «Среди моих соседей ровно один говорит правду». Сколько человек могли не обмануть?
   Решение: Рассмотрим возможные конфигурации. Если все колпаки чередуются (например, К-С-К-С...), то у каждого человека соседи разных цветов. Тогда все лгут, утверждая, что среди соседей ровно один правдивец. Но в реальности у каждого соседи лгут, значит, утверждение ложно. В этом случае все 10 человек лгут. Однако условие допускает и другие конфигурации. Если есть группа из трёх одинаковых колпаков, то средний говорит правду, но тогда его утверждение о ровно одном правдивом соседе должно быть истинным. Однако его соседи в группе также будут иметь одинаковые колпаки, что приводит к противоречию. Единственная непротиворечивая конфигурация — все лгут.
   Ответ: 0.
2. Робот может выполнять одну из трех команд:
   1. Разрезать какой-нибудь лист бумаги на 4 части.
   2. Разрезать какой-нибудь лист бумаги на 10 частей.
   3. Разрезать все имеющиеся листы пополам.
   Можно ли с его помощью из трех листов ватмана получить ровно 1000 кусочков бумаги?
   Решение: Начальное количество листов: 3. Команда 3 удваивает количество листов: $3 \xrightarrow{3} 6 \xrightarrow{3} 12 \xrightarrow{3} 24 \xrightarrow{3} 48 \xrightarrow{3} 96 \xrightarrow{3} 192 \xrightarrow{3} 384 \xrightarrow{3} 768$. После 8 команд остаётся 768 листов. Применим команду 1 к одному листу: $768 - 1 + 4 = 771$. Далее команда 3: $771 \xrightarrow{3} 1542$, что превышает 1000. Альтернативно, после 768 листов применим команду 2: $768 - 1 + 10 = 777$, затем команду 3: $777 \xrightarrow{3} 1554$. Не достигаем 1000. Рассмотрим другой путь: после 6 команд (192 листа) применить команду 2: $192 - 1 + 10 = 201$, затем команду 3: $201 \xrightarrow{3} 402 \xrightarrow{3} 804$, затем команду 1: $804 - 1 + 4 = 807$ — не подходит. Вывод: невозможно получить 1000, так как все комбинации дают числа вида $3 \cdot 2^k + \text{добавки}$, не достигающие 1000.
   Ответ: Нет.
3. В клетчатом квадрате $8 \times 8$ отметили две клетки. Докажите, что его всегда можно разрезать по линиям сетки на две одинаковые части так, чтобы в каждой оказалось по одной отмеченной клетке.
   Решение: Рассмотрим центральную симметрию квадрата. Для любой отмеченной клетки $(i,j)$ симметричная ей клетка — $(9-i,9-j)$. Если две отмеченные клетки не симметричны, разрежем квадрат по линии, соединяющей их середины. Если они симметричны, используем горизонтальный или вертикальный разрез через центр. В обоих случае получаем две одинаковые части с одной отмеченной клеткой в каждой.
   Ответ: Доказано.
4. Есть 6 монет, среди которых одна фальшивая, которая отличается по весу от настоящих. Также про одну из монет известно, что она настоящая. Как за два взвешивания на чашечных весах определить фальшивую монету?
   Решение: Обозначим известную настоящую монету как Н. Разделим остальные 5 монет на группы: A (2 монеты), B (2 монеты), C (1 монета). Первое взвешивание: Н + A vs B + C.
   • Если равновесие: фальшивая — оставшаяся монета вне взвешивания.
   • Если перевесит левая чаша: фальшивая в B или C (легче) или в A (тяжелее). Второе взвешивание: A vs B. Если равны — фальшивая C. Если нет — определяем по направлению перевеса.
   • Аналогично для противоположного перевеса.
   Ответ: Определено за два взвешивания.
5. Двум мудрецам сообщили по ненулевой цифре. Они знают только, что цифры отличаются. Мудрецы встретились и по очереди сделали следующие утверждения:
   Первый: «Я не знаю, чье число больше.»
   Второй: «Я не знаю, чье число больше.»
   Первый: «Я не знаю, чье число больше.»
   Второй: «Я не знаю, чье число больше.»
   Какую цифру сообщили второму мудрецу?
   Решение: Анализируем последовательно:
   1. Первый не знает → его цифра $a \notin \{1,9\}$.
   2. Второй, зная это, также не знает → его цифра $b \notin \{1,9\}$.
   3. Первый, зная что $b \in \{2-8\}$, снова не знает → $a \notin \{2,8\}$.
   4. Второй, зная что $a \in \{3-7\}$, всё ещё не знает → $b$ должно быть таким, чтобы для всех возможных $a$ оставалась неопределённость. Единственная цифра, удовлетворяющая этому — 6.
   Ответ: 6.