Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2020 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2020 год

03.04.2020

1. Коля и Миша бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Коля находился от финиша на расстоянии 100 м, а Миша — 85 м. Через некоторое время Коле осталось до финиша 40 м, а Мише — 35 м. Кто прибежит первым?
   
   
2. В школе 1 октября узнали новость. Каждый день число знающих новость увеличивалось в 3 раза. 21 октября новость узнали все в школе. В какой день новость знали $\dfrac{1}{9}$ часть учащихся?
   
   
3. Расположите 10 прямых на плоскости так, чтобы у них было ровно 21 точка пересечения.
   
   
4. На съезде рыцарей и лжецов присутствовали представители обеих партий. Каждый произнёс ровно одно из двух утверждений: «Среди нас ровно 3 лжеца» или «Среди нас ровно 4 рыцаря». Могли ли на съезде присутствовать ровно 7 человек?
   
   
5. Можно ли, используя цифры 2, 4, 7, 9, составить два числа так, что одно из них будет в 49 раз больше другого? Цифры можно использовать несколько раз.

1. Петя разрезал квадрат на два прямоугольника. Может ли периметр одного прямоугольника оказаться вдвое больше периметра другого?
   
   
2. На столе лежат монеты номиналами: 1 1 1 1 5 1 1 1 2 5 1 1 1 1 (в рублях). Двое по очереди берут справа 1 или 2 монеты. Когда деньги на столе заканчиваются, игра прекращается и победителем объявляется игрок с большей суммой денег. Кто выигрывает при правильной игре?
   
   
3. По кругу стоят 15 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел одно из них делится на другое. Докажите, что можно выбрать два неравных числа, одно из которых делится на другое.
   
   
4. Один джентльмен предложил другому заработать денег. Второй джентльмен должен выписать в строчку цифры от 1 до 9, и за каждое двузначное число в этой цепочке, делящееся на три, ему обещали дать 1 гинею. На какую максимальную сумму дохода может рассчитывать второй джентльмен?
   
   
5. Есть 100 батареек. Известно, что 34 из них свежие, а остальные — разрядившиеся. Имеется фонарик, работающий только от двух свежих батареек (от одной лампочка не горит). Как найти одну свежую батарейку не более чем за 99 включений фонарика?

Решения задач

1. Коля и Миша бегут наперегонки с постоянными скоростями. Сначала Коля находился от финиша на расстоянии 100 м, а Миша — 85 м. Через некоторое время Коле осталось до финиша 40 м, а Мише — 35 м. Кто прибежит первым?
   Решение: За одинаковое время Коля пробежал $100 - 40 = 60$ м, Миша — $85 - 35 = 50$ м. Скорость Коли $\frac{60}{t}$, Миши — $\frac{50}{t}$. Оставшееся время для Коли: $\frac{40}{60/t} = \frac{2t}{3}$, для Миши: $\frac{35}{50/t} = \frac{7t}{10}$. Сравниваем $\frac{2t}{3}$ и $\frac{7t}{10}$: $\frac{20}{30} < \frac{21}{30}$. Коля прибежит раньше.
   Ответ: Коля.
   
   
2. В школе 1 октября узнали новость. Каждый день число знающих новость увеличивалось в 3 раза. 21 октября новость узнали все в школе. В какой день новость знали $\dfrac{1}{9}$ часть учащихся?
   Решение: 21 октября — все знают ($3^0$). За день до этого ($20$ октября) — $\frac{1}{3}$, за два дня ($19$ октября) — $\frac{1}{9}$.
   Ответ: 19 октября.
   
   
3. Расположите 10 прямых на плоскости так, чтобы у них было ровно 21 точка пересечения.
   Решение: 7 прямых пересекаются в одной точке (0 точек между собой), 3 прямые пересекают все 7. Каждая из 3 прямых добавляет 7 точек пересечения: $3 \cdot 7 = 21$.
   Ответ: 7 прямых через одну точку и 3 прямые, пересекающие их все.
   
   
4. На съезде рыцарей и лжецов присутствовали представители обеих партий. Каждый произнёс ровно одно из двух утверждений: «Среди нас ровно 3 лжеца» или «Среди нас ровно 4 рыцаря». Могли ли на съезде присутствовать ровно 7 человек?
   Решение: Предположим, 4 рыцаря и 3 лжеца. Рыцари должны говорить правду («4 рыцаря»), лжецы — ложь («3 лжеца»). Но утверждение «3 лжеца» ложно, значит лжецов не 3, что противоречит предположению. Невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
5. Можно ли, используя цифры 2, 4, 7, 9, составить два числа так, что одно из них будет в 49 раз больше другого? Цифры можно использовать несколько раз.
   Решение: Проверка возможных комбинаций показывает, что ни одно число из разрешённых цифр не может быть умножено на 49 с использованием только этих цифр. Например, $49 \cdot 2 = 98$ (цифра 8 не разрешена), $49 \cdot 7 = 343$ (цифра 3 не разрешена).
   Ответ: Нет.
   
   
6. Петя разрезал квадрат на два прямоугольника. Может ли периметр одного прямоугольника оказаться вдвое больше периметра другого?
   Решение: Пусть сторона квадрата $a$. Периметры прямоугольников: $2(a + h)$ и $2(a + (a - h))$. Уравнение $2(a + h) = 2 \cdot 2(a + (a - h))$ приводит к $h = a$ или $h = 0$, что невозможно.
   Ответ: Нет.
   
   
7. На столе лежат монеты номиналами: 1 1 1 1 5 1 1 1 2 5 1 1 1 1 (в рублях). Двое по очереди берут справа 1 или 2 монеты. Кто выигрывает при правильной игре?
   Решение: Общая сумма — 23 рубля. Первый игрок может взять две монеты справа (1 и 1), оставив сумму 21. Далее зеркалит ходы второго, сохраняя нечётность остатка.
   Ответ: Первый игрок.
   
   
8. По кругу стоят 15 натуральных чисел. Среди любых двух соседних чисел одно из них делится на другое. Докажите, что можно выбрать два неравных числа, одно из которых делится на другое.
   Решение: Если все числа равны, утверждение неверно. Но при наличии хотя бы двух разных чисел в кольце нечётной длины обязательно найдётся пара, где большее делится на меньшее (из-за чередования отношений).
   Ответ: Доказано.
   
   
9. Один джентльмен предложил другому заработать денег. Второй джентльмен должен выписать в строчку цифры от 1 до 9, и за каждое двузначное число в этой цепочке, делящееся на три, ему обещали дать 1 гинею. На какую максимальную сумму дохода может рассчитывать второй джентльмен?
   Решение: Оптимальная последовательность: 1,5,7,2,4,8,6,3,9. Пары: 15,57,24,48,63,39 (6 гиней) + 72 (итого 7).
   Ответ: 7 гиней.
   
   
10. Есть 100 батареек. Известно, что 34 из них свежие, а остальные — разрядившиеся. Как найти одну свежую батарейку не более чем за 99 включений фонарика?
    Решение: Тестируем батарейки попарно. Если фонарик загорается, берём одну из пары. Если за 99 тестов ни разу не загорелось, оставшаяся батарейка — свежая (т.к. всего 34 свежих).
    Ответ: Проверить 99 пар; если все не горят, последняя батарейка свежая.