Лицей «Вторая школа» из 6 в 7 класс 2017 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2017 год

06.06.2017

1. Прирост. Каждую из сторон прямоугольника, периметр которого равен $16{,}2$ см, увеличили на 1 см. На сколько при этом увеличилась площадь прямоугольника?
   
   
2. Гири. Имеется 6 одинаковых по виду монет: 3 настоящих и 3 фальшивых, которые легче настоящих и весят одинаково. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти две настоящие монеты?
   
   
3. Повторы. Компьютер каждую секунду выполняет две операции: умножает число на 2, затем из результата вычитает $0{,}123$ и т.д. Придумайте начальное число, чтобы через 100 секунд компьютер получил такое же число.
   
   
4. Делимость. Докажите, что при любых цифрах A и B шестизначное число $\texttt{AVAVAV}$ делится на 7.
   
   
5. Шары. В ящике 70 шаров: 20 красных, 20 зелёных, 20 жёлтых, остальные — чёрные и белые. Какое наименьшее число шаров нужно вытащить в темноте, чтобы среди них обязательно нашлось 10 шаров одного цвета? Шары отличаются только цветом.
   
   
6. Ничьи. Соревновались 4 команды, каждая с каждой сыграла 1 раз. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3, 2 очка. Сколько было ничьих?
   
   
7. Делители. Чётное натуральное число \( n \) имеет ровно 7 делителей, включая 1 и \( n \). Сколько делителей имеет число \( 2n \)?
   
   
8. Резка. Разрежьте равносторонний треугольник на 4 выпуклые фигуры: шестиугольник, пятиугольник, четырёхугольник и треугольник.
   
   
9. Мальчики. По кругу стоят мальчики и девочки, всего 20 детей (есть и те, и другие). У каждого мальчика справа сосед в синей футболке, а у каждой девочки слева сосед в красной футболке. Сколько в круге мальчиков?
   
   
10. Периметры. Разместите в квадрате со стороной 1 несколько непересекающихся квадратов так, чтобы сумма их периметров была больше 2017. Квадраты могут иметь общую границу, но не могут иметь общих внутренних точек.

Решения задач

1. Прирост. Каждую из сторон прямоугольника, периметр которого равен $16{,}2$ см, увеличили на 1 см. На сколько при этом увеличилась площадь прямоугольника?
   Решение: Пусть стороны исходного прямоугольника $a$ и $b$. Периметр $2(a + b) = 16{,}2$ см $\Rightarrow a + b = 8{,}1$ см. Новая площадь: $(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1$. Разность площадей: $(ab + a + b + 1) - ab = a + b + 1 = 8{,}1 + 1 = 9{,}1$ см².
   Ответ: 9{,}1 см².
   
   
2. Гири. Имеется 6 одинаковых по виду монет: 3 настоящих и 3 фальшивых, которые легче настоящих и весят одинаково. Как за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь найти две настоящие монеты?
   Решение:
   1. Взвесим 2 монеты. Если они равны — обе настоящие. Если одна легче — другая настоящая.
   2. Взвесим найденную настоящую монету с третьей. Если равны — третья настоящая, иначе вторая монета из первого взвешивания настоящая.
   Ответ: За два взвешивания можно определить две настоящие монеты.
   
   
3. Повторы. Компьютер каждую секунду выполняет две операции: умножает число на 2, затем из результата вычитает $0{,}123$ и т.д. Придумайте начальное число, чтобы через 100 секунд компьютер получил такое же число.
   Решение: Уравнение: $x_{100} = x_0$. Рекуррентная формула: $x_{n+1} = 2x_n - 0{,}123$. Решение: $x_0 = 0{,}123$.
   Ответ: $0{,}123$.
   
   
4. Делимость. Докажите, что при любых цифрах A и B шестизначное число $\texttt{AVAVAV}$ делится на 7.
   Решение: Число можно представить как $10101 \cdot (10A + V)$. Поскольку $10101 = 7 \cdot 1443$, число делится на 7.
   Ответ: Доказано.
   
   
5. Шары. В ящике 70 шаров: 20 красных, 20 зелёных, 20 жёлтых, остальные — чёрные и белые. Какое наименьшее число шаров нужно вытащить в темноте, чтобы среди них обязательно нашлось 10 шаров одного цвета?
   Решение: Наихудший случай: 9 красных, 9 зелёных, 9 жёлтых, 10 чёрных/белых. Всего $9 \cdot 3 + 10 = 37$. Следующий шар гарантирует 10 одного цвета.
   Ответ: 38.
   
   
6. Ничьи. Соревновались 4 команды, каждая с каждой сыграла 1 раз. За победу давалось 3 очка, за ничью — 1 очко, за поражение — 0 очков. Команды набрали 5, 3, 3, 2 очка. Сколько было ничьих?
   Решение: Всего матчей 6. Сумма очков: $5 + 3 + 3 + 2 = 13$. Если все матчи с победами, сумма 18. Разница $18 - 13 = 5$ — количество ничьих (каждая ничья уменьшает сумму на 1).
   Ответ: 5.
   
   
7. Делители. Чётное натуральное число \( n \) имеет ровно 7 делителей, включая 1 и \( n \). Сколько делителей имеет число \( 2n \)?
   Решение: Число вида $n = 2^6$ (7 делителей). Тогда $2n = 2^7$ имеет 8 делителей.
   Ответ: 8.
   
   
8. Резка. Разрежьте равносторонний треугольник на 4 выпуклые фигуры: шестиугольник, пятиугольник, четырёхугольник и треугольник.
   Решение: Провести три линии от центра к сторонам, формируя фигуры с разным количеством сторон.
   Ответ: Пример разреза показан на рисунке.
   
   
9. Мальчики. По кругу стоят мальчики и девочки, всего 20 детей (есть и те, и другие). У каждого мальчика справа сосед в синей футболке, а у каждой девочки слева сосед в красной футболке. Сколько в круге мальчиков?
   Решение: Все мальчики в синих футболках, девочки в красных. Чередование невозможно, следовательно, все дети — мальчики. Но по условию есть девочки. Противоречие, значит, мальчиков 10.
   Ответ: 10.
   
   
10. Периметры. Разместите в квадрате со стороной 1 несколько непересекающихся квадратов так, чтобы сумма их периметров была больше 2017.
    Решение: Разделим квадрат на $n^2$ маленьких квадратов со стороной $\frac{1}{n}$. Сумма периметров: $4n$. При $n > 505$ сумма превысит 2017.
    Ответ: Возможно при достаточно мелком разбиении.