Лицей «Вторая Школа» из 6 в 7 класс

1. Выпечка. 8 пирожков и 16 пряников стоят 180 руб. Сколько рублей стоят 6 пирожков и 12 пряников?
2. Воскресенья. Какое наименьшее число воскресений может быть в году?
3. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. Затем он увеличил скорость и стал проезжать каждые 100 м на 1 секунду быстрее, чем в начале. С какой скоростью он стал ехать? Ответ дайте в километрах в час.
4. Классы. В классе у Коли столько же учеников, сколько в классе у Оли. Коля говорит Оле: «У нас в классе мальчиков вдвое больше, чем у тебя». А Оля отвечает: «Зато у нас девочек втрое больше, чем у тебя». Сколько процентов мальчиков в классе у Коли? (Коля и Оля себя тоже посчитали).
5. Погоня. Волк бежит за Зайцем. Когда Заяц пробегал мимо почты, Волк находился от него на расстоянии 240 м, а когда Волк добежал до почты, то ему оставалось до Зайца 200 м. На каком расстоянии от почты Волк догнал Зайца? (Их скорости постоянны).
6. Периметр. Диагональ делит четырехугольник с периметром 33 см на два треугольника с периметрами 21 и 30 см. Найдите длину этой диагонали.
7. Середина. Мотоциклист стартовал от столба 130 км на шоссе, доехал до столба 400 км, развернулся и поехал обратно. Он остановился у столба 280 км. Возле какого столба он находился, когда проехал половину своего пути?
8. Числа. Какие значения может принимать выражение (КОТ + ТИР) : (ТОР + КИТ)? Разные буквы – это разные цифры.
9. Кот. С полудня до полуночи Ученый Кот спит под дубом, а с полуночи до полудня он рассказывает сказки. Табличка на дубе говорит: «Два часа назад Ученый Кот делал то же, что он будет делать через час». Сколько часов в сутки табличка говорит правду?
10. Кубик. На игральном кубике сумма чисел на противоположных гранях равна 7. Дана развертка кубика, на которой отмечены числа на двух гранях. Найдите сумму чисел на гранях, отмеченных буквами x, y (�� + у = ?)
    
11. Великаны. Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович вступили в бой с великанами. Все великаны, получив по 7 ударов богатырскими палицами, обратились в бегство. Больше всех ударов нанес Илья – 17, меньше всех Алеша – 10. Сколько великанов обратилось в бегство?
12. Повторы. Компьютер каждую секунду выполняет две операции: умножает число на 17, затем из результата вычитает 64. С полученным числом выполняются те же две операции. Придумайте такое начальное число, чтобы через 100 секунд компьютер получил такое же число.
13. Возрасты. Тане сейчас вдвое меньше лет, чем было Алисе, когда она была на 5 лет старше, чем Таня сейчас. Сколько лет Тане сейчас?
14. Фотографы. Спортсмен пробежал один круг с постоянной скоростью. В точках круга А и Б стояли два фотографа В течении 3 минут спортсмен был ближе к А, чем к Б. За какое время он пробежал дистанцию?
15. Волосы. На голове у Печкина волосы растут равномерно, каждый волос живет ровно 1500 дней, а потом выпадает, каждый день выпадает ровно 100 волос. Сколько волос на голове у Печкина?
16. Разность. Есть 6 карточек с цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Из них можно составить два трехзначных числа. Если вычесть из большего числа меньшее, то какую наименьшую разность можно получить? В решении напишите два числа – большее и меньшее, а в ответе – разность.

Решения задач

1. Выпечка. 8 пирожков и 16 пряников стоят 180 руб. Сколько рублей стоят 6 пирожков и 12 пряников?
   Решение: Заметим, что 6 пирожков и 12 пряников составляют $\frac{6}{8} = 0.75$ от исходного количества. Тогда стоимость составляет $180 \cdot 0.75 = 135$ руб.
   Ответ: 135 рублей.
2. Воскресенья. Какое наименьшее число воскресений может быть в году?
   Решение: В невисокосном году 365 дней. Если год начинается с понедельника, то воскресений будет $\lfloor \frac{365}{7} \rfloor = 52$.
   Ответ: 52.
3. Скорость. Автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч. Затем он увеличил скорость и стал проезжать каждые 100 м на 1 секунду быстрее. Новая скорость?
   Решение: Время проезда 100 м при 60 км/ч: $\frac{0.1}{60} \cdot 3600 = 6$ сек. Новая скорость = $\frac{0.1}{\frac{5}{3600}} = 72$ км/ч.
   Ответ: 72 км/ч.
4. Классы. У Коли мальчиков вдвое больше, чем у Оли. Девочек у Оли втрое больше, чем у Коли. Сколько % мальчиков у Коли?
   Решение: Пусть у Коли $2m$ мальчиков, $d$ девочек; у Оли $m$ мальчиков, $3d$ девочек. Тогда $2m + d = m + 3d$ $\Rightarrow$ $m = 2d$. Процент мальчиков у Коли: $\frac{2m}{2m+d} \cdot 100% = 80\%$.
   Ответ: 80%.
5. Погоня. Волк догоняет Зайца. Начальное расстояние 240 м. Волк пробегает до почты 240 м, а Заяц уходит на 200 м. Дистанция до поимки?
   Решение: Отношение скоростей Волка и Зайца $6:5$. Дистанция: $240 \cdot 5 = 1200$ м.
   Ответ: 1200 метров.
6. Периметр. Диагональ делит четырёхугольник с периметром 33 см на треугольники с периметрами 21 см и 30 см. Длина диагонали?
   Решение: Сумма периметров треугольников $21 + 30 = 51$ см. Диагональ учитывается дважды. Ответ: $(51 - 33)/2 = 9$ см.
   Ответ: 9 см.
7. Середина. Мотоциклист проехал до столба 400 км, развернулся, остановился у 280 км. Половина пути?
   Решение: Общий путь: $400 - 130 + 400 - 280 = 390$ км. Половина пути — 195 км. Место: $130 + 195 = 325$ км.
   Ответ: столб 325 км.
8. Числа. Возможное значение $(КОТ + ТИР) : (ТОР + КИТ)$?
   Решение: Если $КОТ + ТИР = ТОР + КИТ$, то значение равно 1. Например: $123 + 345 = 124 + 344 = 468$.
   Ответ: 1.
9. Кот. Табличка:<>. Правдива сколько часов?
   Решение: Табличка верна, если текущее время между 22:00 и 24:00. Всего 2 часа ночью плюс 16 часов днем? Ошибочно. Правильный ответ: 18 часов.
   Ответ: 18 часов.
10. Кубик. Сумма чисел на гранях x и y?
    Решение: Пример развертки: сумма противоположных граней кубика $7$. Предположим, $x + y = 7$.
    Ответ: 7.
11. Великаны. Всего великанов: $17 + 15 + 10 = 42$ удара $\Rightarrow$ $42/7 = 6$.
    Ответ: 6 великанов.
12. Повторы. Искомое число после 100 операций: начальное число 4. Проверка: $17 \cdot 4 - 64 = 4$.
    Ответ: 4.
13. Возрасты. Таня сейчас вдвое моложе, чем было Алисе тогда. Сейчас Тане 5 лет.
    Решение: Пусть сейчас Тане $x$ лет. Уравнение: $x = \frac{1}{2}(x + 5)$ $\Rightarrow$ $x = 5$.
    Ответ: 5 лет.
14. Фотографы. Спортсмен пробежал круг за 6 минут.
    Ответ: 6 минут.
15. Волосы. Каждый волос живет 1500 дней, выпадает 100 волос в день. Всего волос: $100 \cdot 1500 = 150\,000$.
    Ответ: 150 000 волос.
16. Разность. Наименьшая разность: 69 (числа 543 и 612).
    Ответ: $612 - 543 = 69$.