Лицей «Вторая школа» из 5 в 6 класс 2024 год вариант 1

ЛИЦЕЙ ВТОРАЯ ШКОЛА

2024 год

17.03.2024

1. Апельсины. Апельсин стоит как 2 яблока. 4 апельсина и 7 яблок стоят вместе 60 руб. Сколько рублей стоят 3 апельсина и 6 яблок вместе?
2. Возраст. Сейчас сумма возрастов всех членов семьи 64 года. Через 3 года эта сумма будет 76 лет. Сколько ещё пройдёт лет после суммы 76, когда сумма лет станет 100?
3. Время. За сколько секунд велосипедист проедет 25 м, если его скорость 30 км/ч?
4. Ребус. Разным буквам соответствуют разные цифры. Подставьте цифры вместо букв, чтобы стало верным равенство: С·О·К + А·А = Ч·У·Ч·А (только одна цифра на букву). Все различные цифры. Укажите, какие из пяти приведённых сравнений верны: С > О, К А, Ч < А, Ч = А.
5. Счёт. Сколько четырёхзначных чисел делится на 17?
6. Викторина. Участник викторины ответил на 20 вопросов. За каждый правильный ответ даётся 3 очка, за неправильный снимается 1 очко. Сколько правильных ответов он дал, если набрал 40 очков?
7. Карточки. На пяти карточках написаны числа 1, 4, 6, 7, 9. Мама сообщила Пете и Оле, какие числа на карточках, и выдала каждому по две карточки из набора. Изучив свои карточки, Петя сказал Оле: «Я знаю, что на твоих карточках сумма чисел чётна!» — и был прав. Какие карточки получил Петя? (Петя не видел карточек, которые достались Оле, и какая карточка лишняя?)
8. Рабочие. Петя может выполнить работу за 20 дней, а Коля за 14 дней. Сколько дней потребуется им, чтобы выполнить такую же работу за 8 дней?
9. Муравьи. В лабораторном муравейнике все муравьи рождаются и умирают только 1 мая. Каждый год 100 муравьёв рождается и 100 умирает. Каждый муравей живёт ровно 3 года. Сколько муравьёв в этом муравейнике? (Муравейник существует много лет.)
10. Эскалатор. На видимой части эскалатора 210 ступенек. Вася ходит вниз по эскалатору со скоростью 4 ступеньки в секунду, наступая на каждую ступеньку, а эскалатор идёт со скоростью 3 ступеньки в секунду. Вася спускался по движущемуся вниз эскалатору и считал, на сколько ступенек он наступил. Сколько ступенек насчитал Вася, когда дошёл до конца эскалатора?
11. Цветок. В семи кружках расставлены различные числа так, что сумма чисел в любых трёх кружках, лежащих на одной прямой, одинакова и равна 546. Сумма всех семи чисел равна 546, а в центре стоит число 78. Чему равно $n$?
    
12. Шарики. В коробке 10 красных, 12 синих и 15 зелёных шариков. Какое наименьшее число шариков нужно вытащить не глядя, чтобы среди вынутых шариков обязательно нашлись 3 красных шарика, 4 синих и 5 зелёных?
13. Забор. Участок 30 м × 300 м огорожен забором. Сколько метров забора надо ещё докупить, чтобы поделить участок на квадраты 10 × 10 м? Толщиной забора пренебречь.
14. Отметки. В параллели 5 классов по 25 учеников. За контрольную работу девятая часть учеников получила «отлично», треть — тройки, половина — четвёрки. Остальные получили «удовлетворительно». Сколько учеников получили «удовлетворительно»?
15. По кругу. По кругу записаны 8 цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в некотором порядке. Любые три соседние цифры дают в сумме нечётное число. Какой цифрой, если считать первая цифра слева — сверху по часовой стрелке, начинается запись? Объясните, почему сумма не зависит от порядка.
16. Поезд. Из пункта А в пункт Б вышел Андрей, а из Б в А вышел Борис по той же дороге. В 11:00 расстояние между ними было 8 км. Скорость Андрея 4 км/ч, скорость Бориса 5 км/ч. На сколько ближе друг к другу они стали за 30 минут? Смогли бы они встретиться до 12:00? Сколько метров было между ними в 12:00?

Решения задач

1. Апельсины.
   Решение: Пусть цена яблока — \( x \) руб., тогда апельсин стоит \( 2x \) руб. Составим уравнение: \[ 4 \cdot 2x + 7x = 60 \quad \Rightarrow \quad 15x = 60 \quad \Rightarrow \quad x = 4 \] Цена апельсина: \( 2 \cdot 4 = 8 \) руб. Стоимость 3 апельсинов и 6 яблок: \[ 3 \cdot 8 + 6 \cdot 4 = 24 + 24 = 48 \] Ответ: 48.
2. Возраст.
   Решение: Разница сумм возрастов через 3 года: \( 76 - 64 = 12 \) лет. Количество членов семьи: \( 12 / 3 = 4 \). Для достижения суммы 100 лет потребуется: \[ (100 - 76) / 4 = 6 \text{ лет} \] Ответ: 6.
3. Время.
   Решение: Скорость велосипедиста: \[ 30 \text{ км/ч} = \frac{30 \cdot 1000}{3600} \approx 8,\!33 \text{ м/с} \] Время проезда 25 м: \[ \frac{25}{8,\!33} \approx 3 \text{ секунды} \] Ответ: 3.
4. Ребус.
   Решение: Пример решения: \( 9 \cdot 8 \cdot 7 + 5 \cdot 5 = 504 + 25 = 529 \). Верные сравнения: \( С > О \), \( Ч > А \). Ответ: Верны С > О, Ч > А.
5. Счёт.
   Решение: Наименьшее четырёхзначное число, делящееся на 17: \( 1003 \). Наибольшее: \( 9996 \). Количество чисел: \[ \frac{9996 - 1003}{17} + 1 = 530 \] Ответ: 530.
6. Викторина.
   Решение: Пусть \( x \) — правильные ответы. Уравнение: \[ 3x - (20 - x) = 40 \quad \Rightarrow \quad 4x = 60 \quad \Rightarrow \quad x = 15 \] Ответ: 15.
7. Карточки.
   Решение: Петя получил две чётные карточки (4 и 6), чтобы оставшиеся 1, 7, 9 гарантировали чётную сумму у Оли. Ответ: 4 и 6.
8. Рабочие.
   Решение: Совместная производительность: \[ \frac{1}{20} + \frac{1}{14} = \frac{17}{140} \] Время выполнения работы: \[ \frac{140}{17} \approx 8,\!24 \text{ дней} \] Ответ: Не хватит 8 дней (требуется ≈8,24 дня).
9. Муравьи.
   Решение: В муравейнике всегда три поколения по 100 муравьёв: \[ 100 + 100 + 100 = 300 \] Ответ: 300.
10. Эскалатор.
    Решение: Относительная скорость Васи: \[ 4 + 3 = 7 \text{ ступенек/с} \] Время спуска: \[ \frac{210}{7} = 30 \text{ секунд} \] Количество ступенек: \[ 4 \cdot 30 = 120 \] Ответ: 120.
11. Цветок.
    Решение: Центральное число — 78. Сумма чисел на каждой прямой: \[ 546 - 78 = 468 \] Ответ: \( n = 78 \).
12. Шарики.
    Решение: Наихудший случай: 12 синих + 15 зелёных + 2 красных = 29. Следующий шарик — красный: \[ 29 + 1 = 30 \] Ответ: 30.
13. Забор.
    Решение: Количество перегородок: \[ 2 \cdot 300 + 29 \cdot 30 = 1470 \text{ м} \] Ответ: 1470.
14. Отметки.
    Решение: Всего учеников: \( 5 \cdot 25 = 125 \). Количество получивших «удовлетворительно»: \[ 125 - \left( \frac{125}{9} + \frac{125}{3} + \frac{125}{2} \right) \approx 9 \] Ответ: 9.
15. По кругу.
    Решение: Чётные и нечётные цифры чередуются. Начинается с чётной цифры (2, 4, 6, 8). Ответ: Чётной цифрой (например, 2).
16. Поезд.
    Решение: За 30 минут сближение: \[ (4 + 5) \cdot 0,\!5 = 4,\!5 \text{ км} \] Встреча произойдёт через: \[ \frac{8}{9} \text{ часа} \approx 53 \text{ минуты} \] В 12:00 расстояние: \[ (4 + 5) \cdot \left(1 - \frac{8}{9}\right) = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м} \] Ответ: На 4,5 км ближе; да; 1000 м.